介质中静电场方程

Dz Dz
4
r 1 3
E 1 D
4 0
13
第二章 静电场分析
10 第二章 静电场分析
【例2.2.1】
求半径为a，永久极化强度为 的P球形驻极体中的极化
电荷分布。已知： P P0ez
驻极体：外场消失后，仍保持
z
极化状态的电介质体。 解：在驻极体内：
P
er


P P 0
驻极体在表面上：
Fra Baidu bibliotek
O


SP P nˆ P0eˆz eˆr
在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 D的z分量为
Dz 20n，C 极/ m化2 强度
P eˆx9 eˆy 21 eˆz15nC / m2
求：介质中的电场强度 E和电位移矢量 D。
解：由定义，知：D

0E

P

0
D

P

P D

(1
r
1
r
)D P

4P
r Pz …
1 第二章 静电场分析
二、极化强度概念
极化强度矢量P，定
义为单位体积中分 子或原子团的电偶 极矩的叠加
P lim pi
V 0 V
第二章 静电场分析
pi = p
P=np
2
分子或者原子团的电偶极矩的大小和方向与 外加电场强度的大小和方向有关，所以极化 强度P是外加电场强度的函数，其关系一般 比较复杂。但对于线性均匀介质，P与外加 电场成正比。另一方面，空间不同点处分子 或者原子团构成不同，极化强度也不同，P 还可能是空间的函数。如果外加电磁场是时 变的，极化强度P还可能是时间的函数。
P 0eE
D 0(1 e)E E r0E
0 (1 e )＝ r0
9 第二章 静电场分析
五、 电介质的分类
介质有多种不同的分类方法，如： 均匀和非均匀介质 各向同性和各向异性介质 时变和时不变介质 线性和非线性介质 确定性和随机介质
最简单的线性均匀各向同性介质，分二种情况： 线性均匀各向同性时不变介质； 线性均匀各向同性时变介质（色散介质）
P0 cos
eˆz eˆr cos eˆ sin
11 第二章 静电场分析
【例2.2.2】
半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 r 4
若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。
解：由高斯定律，可以求得
D S
在媒质内：
dS Q E Qeˆr
4 r

2
D P

s
E
ds

1
0
(
V


p
)dV
0 E p
自由电荷和极化电荷共同激发的结果
7
第二章 静电场分析
由于束缚电荷密度是很难通过直接测量获得， 将束缚电荷体密度表达式代入上式，引入辅 助的电位移矢量
p P
D 0E P
电场的Gauss定律变为：
D ds dV
s
V
D
它表示任意闭合曲面电位移矢量 D 的
通量等于该曲面包含自由电荷的代数和
8 第二章 静电场分析
介质中的电场的最终求解必须知道电场E和电 位移矢量D之间的关系（物质的本构关系）。
这种关系有两种途径可以获得：
1)直接测量出P 和E之间的关系 2)用理论方法计算P 和E之间的关系 对于线性均匀各向同性介质，极化强度P 和 电场强度E 有简单的线性关系
5 第二章 静电场分析
对交界面上的一个薄 层，取如图所示扁圆 盒，考虑扁圆盒的厚 度很小，求得极化面 电荷密度为：
sp nˆ P2 P1
6 第二章 静电场分析
四、电位移矢量、介质中的Gauss定理
无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电 场，服从同样的Coulomb定律和Gauss定律。介质 的极化过程包括两个方面：一方面外加电场的作 用使介质极化，产生极化电荷；另一方面，极化 电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平 衡状态。因此介质中的电场应该是外加电场和极 化电荷产生的电场的叠加。应用Gauss定理得到：

Qeˆr
4 r2 D
0
E

3 0 E

3Qeˆr
16 r2
体极化电荷分布:
P

P

1 r2
r
(r2Pr )

0
面极化电荷分布: SP P eˆr 3Q16 a2
在球心点电荷处： Qp

QSP

sp
a2


3Q 16
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第二章 静电场分析
【例2.2.3】
p P 4 第二章 静电场分析
（1）线性均匀介质中，极化迁出的 电荷与迁入的电荷相等，不出 现极化体电荷分布。
（2）不均匀介质或由多种不同结构 物质混合而成的介质，可出现 极化体电荷。
（3）在两种不同均匀介质交界面上 的一个很薄的层内，由于两种 物质的极化强度不同，存在极 化面电荷分布。
3 第二章 静电场分析
三、极化电荷
由于极化，分子或原子 的正负电荷发生位移， 体积元内一部分电荷因 极化而迁移到的外部， 同时外部也有电荷迁移 到体积元内部。因此体 积元内部有可能出现净 余的电荷。
P ds pdV
S
V
nql ds np ds P ds