§1 1.2 数列的函数特性

n 1 n (n 1)2 (n 2)n 1 解：(1)an1 an , n 2 n 1 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)
an1 an 0 ，所以数列{an } 为递增数列.
（2）方法1：
1 n 1 1 n 1 n 1 8 1 n an 1 an 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) , 5 5 5 5 5 5
所以数列 {an } 既不是递增数列也不是递减数列，是摇摆数列.
本节课主要学习了： 1.递增数列、递减数列、常数列. 2.判断数列增减性的方法. 3.数列是一类定义域为正整数集的特殊函数，它也可以
用图像、表格表示.
作家当然必须挣钱才能生活，写作，但是他
决不应该为了挣钱而生活，写作。
——马克思
例3 判断下列无穷数列的增减性.
（ 1） 2,1,0， 1, ,3 n,
解 (1)设an 3 n，那么
1 2 3 n (2) , , , , , 2 3 4 n 1
an1 3 (n 1) 2 n,
an1 an (2 n) (3 n) 1,
列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来
看几个例子.
数列的函数特性
请看下面例子 新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进
出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：
19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3.
百度文库
贸易总额/亿美元
例4 作出数列
并分析数列的增减性.
1 1 1 1 1 n , , , , , ( ) , 的图像， 2 4 8 16 2
an
1 2 1 4
1
●
3 2
●
●
5
●
O


4
n
1 4
1 2
●
图4
解
图4是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示
数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不 是递减的.
站号 剩余邮件数
1 7
2 12
3 15
4 16
5 15
6 12
7 7
8 0
用 表 格 来可 表见 示， 数我 列们 也 可 以
该数列的图像如下图所示. a n /件
16
.
O 1 n/站
2
3
4
5
6 7 8
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的.
1.在1984年到2004年的6届夏季奥运会上，我国获得的金
1.数列的概念是什么. 2.数列的通项公式的含义是什么.
由上节课的学习我们知道数列可以看作定义域为正 整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依 次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研 究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数
例5
一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途
（包括A，B）共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站 的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站 的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个.
试写出邮件在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，
画出该数列的图像，并判断该数列的增减性. 解 将A，B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通 过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列： 7,12,15,16,15,12,7,0. 填写下表
2700 2400 2100 1800 1500 1200 900 600 300 0 696.0 381.4 19.4 1952 31.0 1957 42.5 1965 45.9 1970 147.5 2 367.3
1154.4
年份/年
1975 1980 1985 1990 1994
由上图可以看出我国1952～1994年部分年份，各 时期进出口贸易总额的增长变化情况.
an1 an 0,
所以数列 {an } 为递减数列
1 x （ ） 方法2：因为函数 y 5 是减函数且 2 0, 1 x 1 y 2 （ ） 是减函数，所以数列 an 2 ( ) n 为递减数列. 5 5
n 1 (n 1) 1, （3）当n为奇数时，an 2 n 1 (n 1) n, 当n为偶数时, an 2
1.2 数列的函数特性
1.知识目标：理解递增、递减、常数列概念；会判断数列
的增减性；理解利用解析式、表格、图像表示数列的异同.
2.能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳，数形结合法 的应用. 3.情感目标：在学习数列函数特性的过程中，增强学生认 识事物的能力，逐步培养学生实事求是、扎实严谨的科学 态度.
我们可以把一个数列用图像来表示：
图1是数列①：3,4,5,6,7,8,9的图像. an 8
6
4 2 O 2 4 图1 6 n
图2是数列⑤： an
1 1 1 1 ，，， ， 3 5 7
的图像.
1
1 3
O
1
2 图2
3
4
n
图3是数列⑥：2100,2100,2100,…，2100的图像. an 2100
牌数依次排成数列：15,5,16,16,28,32.试画出该数列的
图像. an 32
24
16 8
O
1984 1988 1992 1996 2000 2004 n
2.判断下列数列 a n 的增减性.
n (1)an ; n 1 1 (2)an 2 ( ) n ; 5 n 1 (1) n (n 1) (3)an 2
所以an1 an ,因此数列{an }是递减数列.
n （2）设bn , 那么 n 1
n 1 n 1 bn 1 ， (n 1) 1 n 2
n 1 n 1 bn1 bn 0, n 2 n 1 (n 1 （ ) n 2）
所以bn1 bn ,因此这个数列是递增数列.
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 图3
思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处.
从图中可以看出，数列①的函数图像上升，称这样的
数列为递增数列；数列⑤的函数图像下降，称这样的数列
为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的
概念呢？
一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大 于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即 an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.