偏微分方程数值习题解答(内容参考)
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李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=ϕ，则称0x 是)(x J 的 驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解
证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=
必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有 0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0 充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈ϕ,有
⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1ϕϕ ⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即
21,g g 几乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21)
证明: 设'
|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
||
||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a b
a +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =
习题:
1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k )
解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:
对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有
⎰
⎰-=b
a
k k
b
a dx x x f dx x x g )()()
1()()()(ϕϕ
则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶
广义导数,并记k
k dx
f
d x g =)(
注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.
2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.
证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即
0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f
因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使 0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明
0||||1→-f f n (关键证明dx
df
g =)
由Schwarz 不等式,有
00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n b
a n -≤-⎰ 00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f n
b a n -≤-⎰
对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立
⎰⎰=∞
→b
a b
a n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ
⎰⎰=∞
→b
a b a n
n dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ
由⎰⎰-=b
a n
b a n
dx x x f dx x x f )()()()(''ϕϕ
取极限得到dx x x f dx x x g b
a b a ⎰⎰-=)()()()('ϕϕ 即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且
0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n
故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的.
3.证明非齐次两点边值问题
证明:边界条件齐次化
令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满足齐次边界条件.w 满足的方程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,