两点间的距离PPT课件
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优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
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两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
人教版数学 空间两点间的距离公式 (共16张PPT)教育课件
学习目标
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程，初步建 立将空间问题向平面问题转化的意识。 2.掌握空间两点间距离公式及其简单的应用.
新知自学：公式形成与推导：
借助课本P137图4.3-6
探究（一） 空间中的点与坐标原点的距离公式 问题 1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A（x，0，0），B（0，y，0）， C（0，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z）， C（x，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy 平面上的射影为 B， 则点 B 的坐标是什么？|PB|,|OB|的值分别是什么？ 问题 4:基于上述分析，你能得到空间任意点 P（x，y，z）与坐标原点 O 的 距离公式吗？
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)
1.求下列两点间的距离 :
(1) A(6, 0), B( 2, 0);
(2)C (0, 4), D(0, 1);
(3) P (6, 0), Q(0, 2);
(4) M (2,1), N (5, 1).
(1) AB ( 2 6) (0 0) 8;
2
2
(2) CD (0 0)2 ( 1 4) 2 3;
段的长度？
追问2 如何求向量1 2 的模长？
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
, ， , 两点间的距离公式
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
特别地，原点O(0，0)与任一点 , 间的距离
=
2 + 2.
上式利用向量法证明！
(3) PQ (0 6) ( 2 0) 2 10;
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(4) MN (5 2) ( 1 1) 13.
2
2
2.已知点A(a, 5)与B(0,10)间的距离是17, 求a的值.
解： AB (0 a ) (10 5) 17,
2
解得a 8.
=
=
+
−
+ −
+ −
+ + ，
=
=
− + .
由 = ，得
+ + = − + .
解得 =1.
所以,所求点为P(1，0)，且
=
+
2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
两点间的距离公式-PPT课件
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
两点之间的距离公式课件
详细描述
在平面几何中，给定圆心O(x0, y0)和 圆上任一点P(x1, y1)，圆上任一点到 圆心的距离（即圆的半径）可以通过 距离公式计算得出，即r = sqrt[(x1x0)^2 + (y1-y0)^2]。
两点之间的距离公式练习题及 答案
06
练习题一：求解两点间的距离
总结词
掌握两点间距离公式的应用
几何学
在研究平面或空间中的几何形状、曲线和曲面时，变种公式可以用 来确定点之间的相对位置和距离。
工程学
在建筑设计、土木工程和机械设计中，变种公式可以用来确定结构中 各部分之间的精确位置和距离，以确保结构的稳定性和安全性。
两点之间的距离公式实例解析
05
实例一：求解两点间的最短路径
总结词
两点间的最短路径问题可以通过距离公式进行求解，找到连接两点的最短路径。
详细描述
在平面坐标系中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，两点之间的距离公式为d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。通过计算两点之间的距离，可以找到连接两点 的最短路径，即线段AB。
实例二：求解点到直线的距离
总结词
点到直线的距离问题可以通过距离公式进行求解，找到点到 直线的最近点。
详细描述
在平面几何中，给定点P(x0, y0)和直线Ax + By + C = 0，点 到直线的距离公式为d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。通过计算点到直线的距离，可以找到点到直线的最近 点。
实例三：求解圆的半径
总结词
圆的半径问题可以通过距离公式进行 求解，找到圆上任一点到圆心的距离。
在平面几何中，给定圆心O(x0, y0)和 圆上任一点P(x1, y1)，圆上任一点到 圆心的距离（即圆的半径）可以通过 距离公式计算得出，即r = sqrt[(x1x0)^2 + (y1-y0)^2]。
两点之间的距离公式练习题及 答案
06
练习题一：求解两点间的距离
总结词
掌握两点间距离公式的应用
几何学
在研究平面或空间中的几何形状、曲线和曲面时，变种公式可以用 来确定点之间的相对位置和距离。
工程学
在建筑设计、土木工程和机械设计中，变种公式可以用来确定结构中 各部分之间的精确位置和距离，以确保结构的稳定性和安全性。
两点之间的距离公式实例解析
05
实例一：求解两点间的最短路径
总结词
两点间的最短路径问题可以通过距离公式进行求解，找到连接两点的最短路径。
详细描述
在平面坐标系中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，两点之间的距离公式为d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。通过计算两点之间的距离，可以找到连接两点 的最短路径，即线段AB。
实例二：求解点到直线的距离
总结词
点到直线的距离问题可以通过距离公式进行求解，找到点到 直线的最近点。
详细描述
在平面几何中，给定点P(x0, y0)和直线Ax + By + C = 0，点 到直线的距离公式为d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。通过计算点到直线的距离，可以找到点到直线的最近 点。
实例三：求解圆的半径
总结词
圆的半径问题可以通过距离公式进行 求解，找到圆上任一点到圆心的距离。
2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ． 平 面 内 的 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 ， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章 直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
两点间的距离公式》课件5
代数式求值问题
两点间的距离公式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
代数式求值：将两 点的坐标代入公式， 计算距离
应用实例：求两点 (1,2)和(3,4)之间 的距离
扩展应用：求两点 间的距离公式在几 何、物理等领域的 应用
向量模的计算
向量模的定义： 向量的长度或
大小
向量模的计算 公式：|a| = √(a1^2 + a2^2 + ... +
an^2)
向量模的应用： 物理、工程、 计算机科学等
领域
向量模的性质： 非负性、齐次 性、三角不等
式等Βιβλιοθήκη 空间几何中两点间距离的计算
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 拓展应用：计算空间中任意两点间的距离 应用场景：建筑设计、地图绘制、导航系统等 计算方法：利用两点间的距离公式，结合空间几何知识，计算两点间的距离
圆上两点间距离最短问题
问题描述：在圆上找到两点，使得两点间的距离最短 解决方法：使用两点间的距离公式，找到圆心与两点连线的垂直平分线 应用实例：在圆上找到两点，使得两点间的距离最短，并使用两点间的距离公式进行计算 结论：两点间的距离最短问题可以通过两点间的距离公式在几何中的应用来解决
两点间距离公式的其他应用
测量地图上的距离：通过两点间的 距离公式，可以计算出地图上两点 之间的距离。
计算空间中的距离：通过两点间的 距离公式，可以计算出空间中两点 之间的距离。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算地球表面的距离：通过两点间 的距离公式，可以计算出地球表面 上两点之间的距离。
计算网络中的距离：通过两点间的 距离公式，可以计算出网络中两点 之间的距离。
两点之间的距离和点到直线的距离课件
与微积分知识的联系
微积分基本定理
极限思想
在地图绘制中的应用
总结词：精确测量
详细描述：在地图绘制中，两点之间的距离和点到直线的距离是关键参数。通过 使用距离公式，可以精确测量地理坐标之间的距离，为地图绘制提供准确的数据 支持。
在建筑设计中的应用
总结词
优化设计方案
详细描述
在建筑设计中，设计师需要精确计算两点之间的距离和点到直线的距离，以优化设计方案。例如，确定建筑物的 尺寸、位置和布局等，以确保建筑物的安全性和功能性。
在机器人路径规划中的应用
总结词
详细描述
THANKS
感谢观看
两点之间的距离和点到直线的距离 课件
• 距离公式与其他数学知识的联系 • 距离公式在实际问题中的应用案
定义 01 02
计算公式
这个公式可以用来计算二维平面中任 意两点之间的距离。
举例说明
定义
定义 几何意义
计算公式
公式 推导过程
举例说明
例子
求点 (2,3) 到直线 3x - 4y + 1 = 0 的距离。
解法
将点的坐标代入公式，得到 d = |3*2 - 4*3 + 1| / sqrt(3² + (-4)²) = |6 - 12 + 1| / sqrt(9 + 16) = |-5| / sqrt(25) = 1。
在几何学中的应用
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
在物理学中的应用
质点间距离
电场强 度
在静电场中，点电荷到场源电荷的距 离可以通过库仑定律来计算，公式为： E = k*q1*q2 / r^2。
在日常生活中的应用
交通距离 建筑测量
空间两点间的距离公式课件
03
通过以上三个方面的扩展，我们详细 介绍了空间两点间的距离公式在二维 空间中的应用，包括平面坐标系、极 坐标系中的公式应用以及与勾股定理 的关系。这些内容有助于学生更好地 理解空间两点间的距离公式，掌握其 在不同坐标系中的应用，并加深对勾 股定理的理解。
03
空间两点间的距离公式在三维空间中的应 用
05
空间两点间的距离公式的实践应用
地球上两点间距离的计算
地球上两点间距离的计算是空间两点 间距离公式的重要实践应用之一。通 过使用地球半径和两点间的经纬度坐 标，可以计算出两点间的最短距离。
地球上两点间距离的计算在地理学、 气象学、交通规划等领域具有广泛的 应用，例如确定两城市间的最短航线 、预测天气系统移动路径等。
该公式将极坐标转换为笛卡尔坐标进行计算，同样基于勾股 定理。
距离公式与勾股定理的关系
01
勾股定理是直角三角形中直角边的关 系，即$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
02
在二维空间中，两点之间的距离公式 实际上就是勾股定理的应用，通过计 算两点之间直线的距离，得到一个等 效的直角三角形，然后利用勾股定理 计算出距离。
空间两点间的距离公式课件
汇报人：文小库
2024-01-02
CONTENTS
• 空间两点间的距离公式概述 • 空间两点间的距离公式在二维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式在三维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式的扩展
与变形 • 空间两点间的距离公式的实践
01
空间两点间的距离公式概述
定义与公式
三维坐标系中的公式应用
适用范围
适用于三维空间中任意两点$P(x_1, y_1, z_1)$和$Q(x_2, y_2, z_2)$的距 离计算。
2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)
.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)
x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)
x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)
两点间的距离公式课件
工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更 高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求 。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
THANKS
感谢观看
实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度 ，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行 计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。 比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来 的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度， 根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、 物理学、工程学等领域都有广 泛应用。
在计算两点之间的直线距离、 确定物体运动轨迹、解决实际 问题等方面都需要用到该公式 。
在地理信息系统、地图绘制、 导航等领域，该公式也是不可 或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距 离。
√：表示开平方运算 。
06
公式注意事项
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- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
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2 2
解得：b 0或24 所求点的坐标为(0, 0)或(0, 24)
练习
3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5) 间的距离等于10，求点P的纵坐标.
解：设P点的坐标为 ( 7, b ) 由题意可得： 10 解得：b 1或11 P点的纵坐标为 1或11
P(7,-1)或P(7,11)
解：设 P点 的 坐 标 为 ( a ,0 ) | PA | ( 1 a ) 2 ( 2 0) 2 4 (a 1) 2 | PB | ( 2 a ) 2 ( 7 0) 2 7 ( 2 a ) 2 | PA || PB | 4 (a 1) 2 7 ( 2 a ) 2 解得： a 1 | PA | 4 (a 1) 2 2
(2,-3)
练习
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y C 轴上，则m的值是 (A)0 (B)－24 (C)±6 (D)以上都不对 2.若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点 在第二象限，则k的取值范围是 (A)（- 1，0） (B)（0，1] A (C)（0，1） (D)（1，＋∞） 3.若两直线(3－a)x+4y=4+3a与2x+(5－a)y=7平 行，则a的值是 B (A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错
对于每一个确定的值，对应方程 表示的图形都是一条直线.
(1) 不论取何实数，直线(2 1) x ( 3) y ( 4) 0
都过定点
(1, 1)
(2)
求证：不论m取什么实数 直线 2m 1 x m 3 y m 11 0
都经过一个定点，并求出这个顶点的坐标。
2 2
( 3) | PQ | (6 0) 2 (0 2) 2 2 10 (4) | MN | ( 2 5) 2 (1 1) 2 13
练习
2、求在y轴上与点A(5,12)的距离为13的 坐标；
解：设所求点的坐标为(0, b) 由题意可得： 13 5 (b 12)
o
P2(x2,y2) x
| P1 P2 || y2 y1 |
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
?
两点间的距离
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 已知平面上两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离 | P1 P2 |呢?
2
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1) P2 (x2,y2)
y
B (0,b)
a b M( 2 , 2 )
o C (0,0)
x A(a,0)
解题参考
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1 P2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离: | OP | x y
o
x
| P1 P2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| OP | x y
2 2
2
特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离:
举例
例1 已 知 点 A( 1,2), B( 2, 7 ), 在x轴 上 求 一 点 P, 使 得 | PA || PB |, 并 求 | PA | 的 值.
3.3.2 两点间的距离
复习
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
复习
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
A1 B1 两直线相交 A B 2 2 A1 B1 C1 两直线平行 A B C 2 2 2
2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
2 2 ( 1 ) | AB | ( 2 6 ) ( 0 0 ) 8 解：
( 2) | CD | (0 0) ( 1 4) 3
(7 1) (b 5)
2
2
练习
4、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解：设P点的坐标为( x, y ) 由题意可得： | AP || BP | 得：(x-7) ( y 4) ( x 5) ( y 6)
2 2 2 2
化简得：6x-5y-1=0
举例Байду номын сангаас
例2、证明平行四边形四条边的平方和等 于两条对角线的平方和.
y
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
B (a,0)
x
解题参考
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关 的量； 第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几 何关系.
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
两直线重合
A1 B1 C1 A2 B2 C2
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2
y P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
2 2
作业 P110:习题3.3 7、8
三维设计P 55-56
当实数变化时，方程3x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示何图形? 该方程表示的图形有何特点？
可整理为关于x, y的二元一次方程 (3 2 ) x (4 ) y (2 2) 0
解得：b 0或24 所求点的坐标为(0, 0)或(0, 24)
练习
3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5) 间的距离等于10，求点P的纵坐标.
解：设P点的坐标为 ( 7, b ) 由题意可得： 10 解得：b 1或11 P点的纵坐标为 1或11
P(7,-1)或P(7,11)
解：设 P点 的 坐 标 为 ( a ,0 ) | PA | ( 1 a ) 2 ( 2 0) 2 4 (a 1) 2 | PB | ( 2 a ) 2 ( 7 0) 2 7 ( 2 a ) 2 | PA || PB | 4 (a 1) 2 7 ( 2 a ) 2 解得： a 1 | PA | 4 (a 1) 2 2
(2,-3)
练习
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y C 轴上，则m的值是 (A)0 (B)－24 (C)±6 (D)以上都不对 2.若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点 在第二象限，则k的取值范围是 (A)（- 1，0） (B)（0，1] A (C)（0，1） (D)（1，＋∞） 3.若两直线(3－a)x+4y=4+3a与2x+(5－a)y=7平 行，则a的值是 B (A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错
对于每一个确定的值，对应方程 表示的图形都是一条直线.
(1) 不论取何实数，直线(2 1) x ( 3) y ( 4) 0
都过定点
(1, 1)
(2)
求证：不论m取什么实数 直线 2m 1 x m 3 y m 11 0
都经过一个定点，并求出这个顶点的坐标。
2 2
( 3) | PQ | (6 0) 2 (0 2) 2 2 10 (4) | MN | ( 2 5) 2 (1 1) 2 13
练习
2、求在y轴上与点A(5,12)的距离为13的 坐标；
解：设所求点的坐标为(0, b) 由题意可得： 13 5 (b 12)
o
P2(x2,y2) x
| P1 P2 || y2 y1 |
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
?
两点间的距离
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 已知平面上两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离 | P1 P2 |呢?
2
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1) P2 (x2,y2)
y
B (0,b)
a b M( 2 , 2 )
o C (0,0)
x A(a,0)
解题参考
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1 P2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离: | OP | x y
o
x
| P1 P2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| OP | x y
2 2
2
特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离:
举例
例1 已 知 点 A( 1,2), B( 2, 7 ), 在x轴 上 求 一 点 P, 使 得 | PA || PB |, 并 求 | PA | 的 值.
3.3.2 两点间的距离
复习
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
复习
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
A1 B1 两直线相交 A B 2 2 A1 B1 C1 两直线平行 A B C 2 2 2
2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
2 2 ( 1 ) | AB | ( 2 6 ) ( 0 0 ) 8 解：
( 2) | CD | (0 0) ( 1 4) 3
(7 1) (b 5)
2
2
练习
4、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解：设P点的坐标为( x, y ) 由题意可得： | AP || BP | 得：(x-7) ( y 4) ( x 5) ( y 6)
2 2 2 2
化简得：6x-5y-1=0
举例Байду номын сангаас
例2、证明平行四边形四条边的平方和等 于两条对角线的平方和.
y
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
B (a,0)
x
解题参考
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关 的量； 第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几 何关系.
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
两直线重合
A1 B1 C1 A2 B2 C2
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2
y P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
2 2
作业 P110:习题3.3 7、8
三维设计P 55-56
当实数变化时，方程3x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示何图形? 该方程表示的图形有何特点？
可整理为关于x, y的二元一次方程 (3 2 ) x (4 ) y (2 2) 0