凹凸性、渐近线、作图教学材料

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（二）凹凸性的判定 定理1：( 用二阶导数判定函数的凹凸性 )
设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 连 续 ,在 (a ,b )内 二 阶 可 导 , 那 么
(1)若 在 (a, b)内f(x)0, 则f(x)在 [a, b]是 凹 函 数 ;
(2)若 在 (a, b)内f(x)0, 则f(x)在 [a, b]是 凸 函 数 .
(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方
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凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f( x ) 是 凹 函 数 , 则 f ( x ) 单 调 增 加 ；
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凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f( x ) 是 凸 函 数 ,则 f ( x ) 单 调 减 少 .
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0
100 200
x
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(3)斜渐近线
如果曲线 y f (x) 有
f x
lim a0,
x x
或
f x
lim a0, x x
lim fxax b
x
lim fxax b
x
则 yaxb是曲线 yfx的一条斜渐近线．
例子见书98页例6
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三、函数作图
(1)确 定 函 数 的,定 有义 无域 奇 偶 性 和周期; 性
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（三 ） 拐点
设 点 (x0,f(x0))是 曲 线 yf(x)上 的 一 个 点 ，
在 该 点 两 侧 曲 线 凹 凸 性 相 反 ,则 称 点 (x0,f(x0))
为 曲 线 yf(x)的 拐 点 .
y
y f(x)
定理1：（拐点必要条件）
设 f (x)有二阶导数,
(•x0, f(x0)
x (x )
yf(x)的水平渐 . 近线
注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线．
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对于函数 f (x) sin x
x
由于 lim sin x 0
x x
所以， y 0 是曲线的一条水平渐近线．
y=sinx/x 1
0.5
y
0
-0.5
-200 -100
(或 lim f ( x) ( ))
x a
oa x
则直线 xa
y f(x)
为 曲 线 y f ( x )的
铅直渐近线.
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y
ytaxn y ycoxt
2
o
2
x
o
2
x
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例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
(2) 求函数的单调区,极间值;
( 3 )求 函 数 的 凹 、 凸 区 间 和 拐 点 ;
(4) 求 渐 近 线;
(5)计算特殊,描 点点作. 图
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若(x0, f (x0))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0) 0.
o x0
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定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
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例1.判断曲线 y x 4 的凹凸性.
解:
如 果 曲 线 上 一 动 点 沿 曲 线 趋 于 无 穷 远 时 , 动 点 与 某 一 直 线 的 距 离 趋 于 零 ,则 称 该 直 线 为 曲 线 的 一 条 渐 近 线 .
y
y f(x)
P
•
ykxb
o
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M
x
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曲线渐近线的分类 (1)铅直渐近线
y xa
若 lim f ( x ) ( ) x a
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
( 0 , 0 ) 是该曲线的拐点．
y=x1/3
3
2
1
y
0
-1
-2
--310
-5
0
5
10
x
x=linspace(-10,10);
y=nthroot(x,3);
plot(x,y)
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例4.求曲线 y 1 的拐点．
x
解 函数 y 1 的定义域为 ( ,0 ) (0 , )
x
y'
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
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-5
0
5
x
ezplot('x*(x-1)*y=1',[-10 10])
10
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(2)水平渐近线 若limf(x)b,则 直y线 b是 5
y '' -
0
+
y
凸
8 2
5
拐点
凹
在x
1 5
两侧 y
'' 符号发生改变,则 ( 1 , 8 )是拐点．
5 25
1
例3.求曲线 y x 3 的拐点．
1
解:函数 y x 3 的定义域为 (,)
y
'
1
2
x 3,
y
''
2
5
x3
2
3
9
9x3 x2
当 x 0 时， y '' 不存在． 当 x 0 时， y '' 0; 当 x 0 时， y '' 0, 在 x 0 的两侧，y '' 的符号发生改变.点
或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
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一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
1 x2
,
y''
2 x3
由于 y
1 x
在x
0 处没有定义,所以该曲线
没有拐点．
y=1/x 10
5
y
0
-5
-10 -10
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-5
0
5
x
ezplot('x*y=1',[-10 10])
10
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作业
P108 习题4 20(2)(3) 21
预习：P112—115
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二、曲线的渐近线