微分几何-曲面

§3.1曲面及其相关概念

1. 曲面及其参数表示

曲面的坐标形式的参数方程:

.

曲面的向量形式的参数方程:

, .

简记为

, .

称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标.

例1 (1) 圆柱面

cos，sin，z = z,

. 其中常数为截圆的半径．

当, 时, , , . 于是是点

的曲纹坐标.

(2) 球面

cos cos，cos sin，sin，

. 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径．当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.

(3) 旋转面

把xz平面上一条曲线

：x =，

绕z轴旋转，得旋转面:

x =，y =，．

当, 时, , , . 于是是点

的曲纹坐标.

(4) 连续函数的图象

该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点

的曲纹坐标.

坐标曲线

曲线：, 即.

曲线：, 即.

一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线.

曲纹坐标网

例2 （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z.

（2）球面（例1（2））: cos cos，cos sin，sin.

(3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，．

(4) 连续函数的图象（例1（4））

2. 光滑曲面曲面的切平面和法线

在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量．

定义曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和r(,)不平行.

正则曲面: 处处是正则点的曲面.

例在双叶双曲面的一叶(、和均为正的

常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量

;

经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量

.

由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面.

定理3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示．

曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向.

曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t).

Γ的向量式参数方程:

r = r(u(t), v(t)) = r(t).

其切方向

(t) = r+ r.

也可写为

d r = r u du + r v dv.

定理3.1.2曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量r和r所决定的平面上．称此平面为曲面在这一点的切平面．

曲面上一点的一个切方向的表示:

du:dv----表方向d r = r u du + r v dv, 也表方向 -d r = -r u du - r v dv. 二者视为同一方向.

例如, du:dv = (-2):3表方向d r = -2r u + 3r v , 也表方向 -d r = 2r u - 3r v . 二者视为同一方向.

例环面

(为常数, )上的点即

点. 该点处的切方向表示方向

曲面：r = r(u, v)上在点(,)的切平面的方程：

(m- r(,)，r(,)，r(,)) = 0，

或写成坐标的形式：

．

特例对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有

r= {1，0，}，r= {0，1，}.

所以曲面在点(,)的切平面的方程为：

.

法方向: 垂直于切平面的方向.

法线: 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线.

法向量: n = r r.

单位法向量: n=．

曲面的法线方程:

m = r(,)+r(,)r(,).

若曲面的坐标形式的参数方程为, 则法线方程为特例对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有

.

例3求圆柱面r = {}(为常数)上任意点的切平面

和法线的方程．

解因为

r=，r={0,0,1}．

所以，在任意点的切平面方程为

，

即

.

在任意点的法线方程为

，

即

§3.2曲面上的双参数活动标架

1. 曲面的双参数活动标架

定义曲面：r = r(u, v)的第一基本量

E(u, v) = r r，

F(u, v) = r r，

G(u, v) = r r.

令

,

.

根据Lagrange恒等式，有

( r r)( r r) = r r－(r r)= EG－F．

于是

．

令

由此得到曲面上的正交右手系标架[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)]. 由于它依赖于两个参数u和v, 故称之为曲面的双参数活动标架.

注1 和e所张成的平面就是曲面在一点处的切平面．

注2 不要记e2的上述繁琐的表达式. 要计算e2, 首先计算e1和e3 , 然后用直接计算e2 .

注3 r和r也可由和e线性表示. 即

r=，r= + e.

例1 给出正螺面r ={}(b≠0为常数)上的一个双参数活动标架．

解因为

r={cos v, sin v, 0}，r={ -u sin v, u cos v, b}，

于是

E = r r= 1，

F = r r= 0，G= r r=．

r={cos v, sin v, 0}，

e=(r r)={ b sin v , -b cos v , u},

={-u sin v, u cos v , b}.

2. 外微分形式

在平面上建立直角坐标系，点的坐标用(u, v)表示. du和dv是坐标的微分．用表示坐标微分之间的外乘运算. 规定

du dv = -dv du,

du du =0,

dv dv =0.

设f(u, v)是定义在平面区域D上的函数，则f(u, v)du dv称为D上的以du dv为基底的二次外微分形式．

设f(u, v)和g(u, v)都是定义在平面区域D上的函数. 则f(u, v)du + g(u,v)dv称为D上以du和dv 为基底的一次外微分形式，也称为发甫（Pfaff）形式．

区域D上的函数f(u, v)称为0次外微分形式.

对于两个一次外微分形式