向量的定义及运算

102
定义 称全体n维向量组成的集合为n维向量空间，记为 R n
在 R n 中，称向量
1 1,
0,
,
0 ,

2
0,
……
1,
,
0 ,
n 0, 0, , 1
为n维基本向量或n维单位坐标向量。
En 1 2 n
易证，向量组 1,2 , , n 线性无关，从而
讨论向量
能否由
1，
2，
线性表示
3
解 考虑方程 x11 x2 2 x33

2
x1 x1

x2 x3 1 4x2 x3 4
3x1 3x2 3x3 7
第一，三两方程显然相互矛盾，故无解
其分量形式为
可见，向量
不能由
1，
2，
线性表示
答
(13, 18,9)
向量的加减和数乘运算统称为向量的线性运算，
①
② ( ) ( )
八
条 ③ 0
④ ( ) 0
运
算 ⑤1
⑥( ) ()
律
⑦ ( ) ⑧( )
式 1
相关。
n 0 则该向量组线性
性质 向量组 1,2 , ,m
2.2
线性相关
组内某一向量可由 其余向量线性表示
A 1 2
n 的行列式 A 0 则该向量组线性无关。
证明 考虑方程
x11 x22 xnn Ax 0 ()
由于系数行列式 A 0 由克莱姆法则的推论
方程 () 只有零解。
结论 如果n维向量组 1, ,n 线性无关，
则行列式 1
n 0
推论 设有n维向量组 1, ,n 如果行列
线性表示
2
例 判断向量组
1 (1, 0, 2, 1) 2 (0, 2,3,1) 3 (2, 2, 7, 1)
的相关性
解 通过观察得 3 21 2 即有： 21 2 3 0
所以 1,2 ,3 线性相关
线Biblioteka Baidu相关的等价叙述
设有n维向量组S：1,2 , ,m 如果方程
3
例
设 1 95 96 2 97 98
99
100
讨论能否由
1，
线性表示
2
解 考虑方程 x11 x2 2 , 其分量形式为
9965xx11
97x2 98x2
99 100
该方程组的系数行列式显然不为零，故有解。
可见向量
能由1，
x11 x22 xmm 0 有非零解 向量组 1, 2 , , m , 线性相关。
否则如果方程只有零解 向量组1,2 , ,m
线性无关
例 讨论向量
1 (1, 0,1), 2 (2, 1, 0), 3 (3,1, 2) 的相关性
解 考虑方程 x11 x22 x33 0
ai 或 bi 叫作向量的分量，分量的个数叫做向量的维数。
行（列）向量可以看作只有一行（列）的矩阵
向量的线性运算
与矩阵的加减法和数乘运算法则相同，向量的加减和 数乘只要把对应分量进行加减和数乘
1 (4, 5, 2), 2 (1,3, 3), 求 31 2
解
31 2 (12, 15,6) (1,3, 3)
第二章 向量与线性方程组
2.1 向量及其线性运算 2.2 向量组与矩阵的秩 2.4 线性方程组
2.1 向量的定义及运算
由n个数组成的有序数组称为向量(vector)
(a1, a2 , , an )
b1

b2


bn
行向量 列向量
分量都是零的 向量称为零向 量，记为0
的一个线性组合
2
（一）向量的线性组合
定义
设 1，2， ，m， 为n维向量，如果存在
k1，k2， ，km 满足
k11 k22 kmm
称
可表示为1，
，
2
m的线性组合，或 可
由1，
，
2

线性表示。
m
（二）向量组的线性相关性
定义
给定向量组S: 1, 2 , , m , 如果存在不全为零
x1
1
2
3


x2


0
x3
1 2 3 x1

0
1
1


x2


0
()
1 0 2 x3
由于方程组 () 的系数行列式 1 2 3
即有方程组 ()只有零解。 0 1 1 3 0
1,2 ,3 线性无关
的实数 k1, k2 , , km , 使
k11 k22 kmm 0 (1)
则称向量组S线性相关；否则称S线性无关。
1, 2, , m 线性无关 （1）式仅当 k1 km 0成立
例 设 1 4 7 1 1 2 3
2 1 4 3 3 1 1 3
2.1.2 向量和向量组的线性关系
一般地，向量指列向量
1




2


1, 2 ,
n
n
简省空间 的记法
1

23
2


1
4

,



5 10

,
求 k1 和 k2，满足 k11 k22
任意n维向量
必能表示为

1，
2，，
的线性组合
n
设 a1, a2 , , an
a1
En
1
2


n


a2
an

a11 a2 2 an n
性质2.1 设有n维向量组 1,2 , ,n 如果方阵
解 由 k11 k22 得 答
改写成分量等式

2k1 3k1

k2 4k2



5 10

,
3k21k1 4kk22

5 10
解得 k1 2, k2 1 即 21 2
可由1，2
线性表示
21

2称为向量1和