2021届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学(理)试题Word版含答案
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在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以O为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的普通方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆C的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
（1）将 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；
20.（本题满分12分）设椭圆 的右焦点为F,右顶点为A,B,C是椭圆上关于原点对称的两点（B,C均不在x轴上），线段AC的中点为D，B,F,D三点共线.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设 ，过F的直线 交E于M,N两点，直线MA,NA分别与直线 交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆过点F.
21.（本题满分12分）设函数
14.若 ，则 的二项展开式中 的系数Βιβλιοθήκη Baidu.
15.已知抛物线 的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A,B两点，若 ，则弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为.
16.已知函数 （ 为自然对数的底数），若对任意的正数 ，当 时，都有 成立，则实数m的取值范围为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
A. 92 B. 46 C. 23 D. 1
7.等差数列 为递增数列，若 ，则数列 的公差d等于
A. 1 B. 2 C. 9 D. 10
8.已知向量 与 的夹角为 ，若 ，则 在 方向的投影为
A. B. C. 1 D.
9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为
A. B. C. D.
10.已知实数 满足条件 ，若 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数 的取值集合为
（2）若 ，对 恒成立，求 的取值范围.
17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，
（1）若 ，且 ，求 的长；
（2）若 ，求 的取值范围.
18.（本题满分12分）如图，四边形 和四边形 均为直角梯形， ,二面角 是直二面角,
（1）证明：在平面 上，一定存在过点C的直线 与直线 平行；
（2）求二面角 二余弦值.
19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C三个城市进行雾霾落实情况抽查.
3.已知 ，则 且 是 且 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n，已知m为2或4时， 的概率为
A. B. C. D.
5.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为 的是
A.
B.
C.
D.
6.执行下面的程序，若输入的 ，则输出的结果为
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3） 有两个不相等的实数根 ，求证 .
请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
A. B. C. D.
11.等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，则当 时， 的最大值和最小值之和为
A. B. C. D.
12.四面体 中， ,则此此四面体外接球的表面积为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线C的离心率为.
（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为 ，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X，求X的分布列和期望.
2021届河南省洛阳市高三第一次统一考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知 为虚数单位，若实数 满足 ，则 的模为
A. 1 B. C. D. 2
2.已知集合 ，则
A. B. C. D.
（1）求圆C的普通方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆C的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
（1）将 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；
20.（本题满分12分）设椭圆 的右焦点为F,右顶点为A,B,C是椭圆上关于原点对称的两点（B,C均不在x轴上），线段AC的中点为D，B,F,D三点共线.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设 ，过F的直线 交E于M,N两点，直线MA,NA分别与直线 交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆过点F.
21.（本题满分12分）设函数
14.若 ，则 的二项展开式中 的系数Βιβλιοθήκη Baidu.
15.已知抛物线 的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A,B两点，若 ，则弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为.
16.已知函数 （ 为自然对数的底数），若对任意的正数 ，当 时，都有 成立，则实数m的取值范围为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
A. 92 B. 46 C. 23 D. 1
7.等差数列 为递增数列，若 ，则数列 的公差d等于
A. 1 B. 2 C. 9 D. 10
8.已知向量 与 的夹角为 ，若 ，则 在 方向的投影为
A. B. C. 1 D.
9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为
A. B. C. D.
10.已知实数 满足条件 ，若 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数 的取值集合为
（2）若 ，对 恒成立，求 的取值范围.
17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，
（1）若 ，且 ，求 的长；
（2）若 ，求 的取值范围.
18.（本题满分12分）如图，四边形 和四边形 均为直角梯形， ,二面角 是直二面角,
（1）证明：在平面 上，一定存在过点C的直线 与直线 平行；
（2）求二面角 二余弦值.
19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C三个城市进行雾霾落实情况抽查.
3.已知 ，则 且 是 且 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n，已知m为2或4时， 的概率为
A. B. C. D.
5.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为 的是
A.
B.
C.
D.
6.执行下面的程序，若输入的 ，则输出的结果为
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3） 有两个不相等的实数根 ，求证 .
请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
A. B. C. D.
11.等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，则当 时， 的最大值和最小值之和为
A. B. C. D.
12.四面体 中， ,则此此四面体外接球的表面积为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线C的离心率为.
（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为 ，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X，求X的分布列和期望.
2021届河南省洛阳市高三第一次统一考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知 为虚数单位，若实数 满足 ，则 的模为
A. 1 B. C. D. 2
2.已知集合 ，则
A. B. C. D.