《材料力学》第6章简单超静定问题习题解

轴力图01234-5-4-3-2-101234567

N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解

[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ，

F 作用点为D ，则：

B BD R N =

F R N B CD +=

F R N B AC 3+=

变形谐调条件为：

0=∆l

02=⋅+⋅+⋅EA

a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N

03)(2=++++F R F R R B B B

45F R B -

=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD

-= 445F F F N CD

-=+-= 4

7345F F F N AC =+-= 轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积

分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。

解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

∑=0X

030cos 30cos 01032=-+-N N N

0332132=-+-N N N

0332132=+-N N N (1)

∑=0Y

030sin 30sin 0103=-+F N N

2013=+N N (2)

变形谐调条件：

设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：

00130cos 30sin x y l δδ+=∆

x l δ=∆2

00330cos 30sin x y l δδ-=∆

03130cos 2x l l δ=∆-∆

2313l l l ∆=∆-∆

设l l l ==31，则l l 2

32= 2

23

311233EA l N EA l N EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 150

23200100231⨯=-N N N

23122N N N =-

21322N N N -= (3)

(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。

[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。

解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用

力均铅垂向上。分别用4321,,,N N N N 表示。

由其平衡条件可列三个方程：

0=∑Z

04321=-+++F N N N N

F N N N N =+++4321 (1)

0=∑x M

0222242=-⋅a N a N

42N N = (2)

0=∑y M

022

22

31=⋅-⋅+⋅a N e F a N

a Fe

N N 231-=- (3)

由变形协调条件建立补充方程

EA N EA l N

EA l N 2

312

=+

2312N N N =+。。。。。。。。。。（4）

(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得： 442F N N == F a

e N )241(1-= F a

e N )241(3+= [习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积2

1000mm A =，试求两杆的轴力和应力。

解：以AB 杆为研究对象，则： 0=∑A M

0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N

150221=+N N (1)

变形协调条件：

122l l ∆=∆

EA

l N EA l N 122= 122N N = (2)

(1)、(2)联立，解得：

kN N 301=

kN N 602=

MPa mm N A N 301000300002

11===σ MPa mm N A N 60100060000222===

σ

[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和2

1400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。

解：以AB 杆为研究对象，则：

0=∑A M

023

)330(3121=⨯⨯-⨯+⨯N N

135321=+N N (1)

变形协调条件： 3

121

=∆∆l l

123l l ∆=∆

1

12238.1EA l N EA l

N ⨯=⋅

4003

2008.11

2N N =⋅

212.1N N = (2)

(1)、（2）联立，解得：

kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）

故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322=

强度校核：

MPa MPa mm

N

A N 170][4275.9640038571||||211

1=<===σσ，符合强度条件。

MPa MPa mm N A N 170][715.160200321432

12

2=<===σσ，符合强度条件。