《椭圆及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《椭圆及其标准方程》第1课时教学设计
本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础．因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一．因此这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其他两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到椭圆的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．
（2）由演示出发，经过问题思考→研究讨论→点拨引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习的自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．
一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．
课时分配
本节内容分两课时完成．第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．
掌握椭圆的定义及其标准方程；能正确推导椭圆的标准方程；明确焦点、焦距的概念．
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导．
多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
引入新课
1．通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片（PPT），让学生从感性上认识椭圆．
2．通过动画设计（几何画板演示），展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹．
探究新知
探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
下面请同学们在绘图板上作图，并思考以下问题：
在作图时，因为笔尖M运动，所以为动点，两个图钉F1、F2不动，所以为定点．
1．在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？其轨迹是什么曲线？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？
4．两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？
5．当绳长满足什么条件时，动点M形成的轨迹是椭圆？
活动设计：两个学生一组，合作操作画图过程，并思考上述问题，必要时，允许合作、讨论、交流．教师巡视指导，及时发现问题，解决问题．
活动成果：1．|MF1|＋|MF2|＝绳长（定值）；椭圆；2．不是椭圆，是线段F1F2；3．不能；4．以F1（F2）为圆心，以绳长的一半为半径的圆；5．当两图钉F1、F2之间的距离不为0且绳长大于两图钉F1、F2之间的距离时．
提出问题：类比平面几何中圆的定义，给出椭圆的定义．
活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流．
学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．
活动成果：师生共同概括出椭圆定义：
平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离之和等于常数、常数大于|F1F2|）
设计意图：通过上述操作、思考问题使学生建立起对椭圆的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程．为今后通过方程研究椭圆的性质做好准备．
提出问题：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？
活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）
提出问题：如图，已知椭圆的两焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2c，对椭圆上任一点M，有|MF1|＋|MF2|＝2a，尝试建立椭圆的方程．
提出问题：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？
活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导．
学情预测：学生的建系方法应当会有很多种．
活动结果：教师将各个学生或学习小组的建立坐标系的方案一一画图表示．然后，提醒全班学生应当类比利用圆的对称性建立圆的标准方程时的建立坐标系的方法，根据椭圆的几何特征（主要是对称性），选择适当的坐标系，才可能使建立的椭圆方程简单．这样，师生就会达成一致意见，选定以下两种方案：
方案一：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy．
方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系xOy．
方案一方案二
提出问题：请同学们按方案一具体求出椭圆的方程． 活动设计：学生独立解决．必要时，为顺利完成教学，教师应当介入，加以指导、提示． 设点：设椭圆上任一点M 的坐标为（x ，y ）．
列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(x ＋c)2＋y 2＋(x －c)2＋y 2＝2a ．①
化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎样化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）
(x ＋c)2＋y 2＝2a －(x －c)2＋y 2．
两边平方，得（x ＋c ）2＋y 2＝4a 2－4a (x －c)2＋y 2＋（x －c ）2＋y 2．
即a 2－cx ＝a (x －c)2＋y 2．
两边平方，得a 4－2a 2cx ＋c 2x 2＝a 2（x －c ）2＋a 2y 2．
整理，得（a 2－c 2）x 2＋a 2y 2＝a 2（a 2－c 2）．（※）
学情预测：一般情况下，得到方程（※）即告结束．
提出问题：设方案一中的椭圆与x 轴的交点分别为A 1，A 2，与y 轴的交点分别为B 1，B 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？
活动设计：学生先独立思考，必要时，可以重复开始的画椭圆的过程，并可合作交流．
学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2
＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题． 提出问题：当动点M 移动到B 1或B 2点时，根据椭圆的定义及坐标系的建立方式，你还能发现新的结论吗？
学情预测：学生会发现：|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ＝|B 1F 1|＝|B 1F 2|．
教师：这样，因为△B 2OF 2为直角三角形，且|B 2F 2|＝a ，|OF 2|＝c ，所以，a 2－c 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的a 2－c 2有明显的几何意义．为此，令|OB 2|＝b ，则a 2－c 2＝b 2．于是，方程（※）可以进一步化简为：
b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2．（☆）
学情预测：一般情况下，得到方程（☆），本题求解也即告结束．
提出问题：非常好．这个方程两边次数一致，非常工整，类似这种结构的方程在哪儿见过，怎么处理的呢？
活动设计：学生可以互相讨论、启发，必要时教师可以提示．
活动结果：直线的截距式方程x a ＋y b
＝1就是由bx ＋ay ＝ab 化得的．因此． 方程（☆）可以进一步整理成：x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a >b >0）（这种形式“美”）． 指出：方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a >b >0）叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是F 1（－
c ，0），F 2（c ，0），且c 2＝a 2－b 2．
提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），椭圆的方程又如何呢？
教师：列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即x 2＋(y ＋c)2＋x 2＋(y －c)2＝2a ．②
试比较①②两式，它们有何区别与联系？发现只需交换①式中x 和y 的位置，即得②式，
反之也成立．所以，易知，只需将x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a >b >0）中的x 和y 的位置互换，即得焦点在y 轴上的椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1（a >b >0）． 教师指出：我们所得的两个方程x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x 2
b 2＝1（a >b >0）都是椭圆的标准方程． 提出问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？
活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论也允许．
活动结果：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．
理解新知
1．观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳：
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数a ，b ，c 满足关系式：b 2＝a 2－c 2（a >b >0）；
（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；
（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．
2．在归纳总结的基础上填写下表
b 2＝a 2－
c 2 b 2＝a 2－c 2 （±c ，0） （0，±c ） 在y 轴上
运用新知 1已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3 m ，求这个椭圆的标准方程．
思路分析：巩固椭圆的标准方程，通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性．解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出椭圆的标准方程．
解：以两焦点F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程可设为
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1（a >b >0）． 根据题意知2a ＝3，2c ＝2.4，即a ＝1.5，c ＝1.2，所以
b 2＝a 2－
c 2＝1.52－1.22＝0.81．
因此，这个椭圆的标准方程为
x 22.25＋y 2
0.81
＝1． 点评：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；（2）掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； （3）培养学生运用知识解决问题的能力．
2求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10．
（2）两焦点坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－32，52
）．（教材例题改编）
（3）a ＋b ＝10，c ＝25．
思路分析：
（1）根据题设容易知道c ＝4，2a ＝10且椭圆焦点在x 轴上；
（2）思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点（－32，52
）到两个焦点（0，－2）、（0，2）的距离之和为常数2a ）求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出b 2的值，进而写出标准方程；
思路2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程y 2a 2＋x 2
b 2＝1（a >b >0），再将椭圆上点的坐标（－32，52
）代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出a 2、b 2的值，从而得到椭圆的标准方程为y 210＋x 26
＝1． （3）利用已知条件得a 2－b 2＝20，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10，
a 2－
b 2＝20， 解得a ，b ．
然后根据焦点位置分别写出焦点在x 轴和y 轴上的椭圆方程．
答案：（1）x 225＋y 29＝1 （2）y 210＋x 26＝1 （3）x 236＋y 216＝1或y 236＋x 216
＝1． 点评：加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，加深对定义的理解和对分类讨论数学思想方法的运用．教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法．
变练演编
提出问题：请解答下列问题：
1．已知椭圆x 225＋y 216
＝1，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 2．已知a ＝5，c ＝4，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）
3．已知a ＝4，______，可以求得椭圆的标准方程为x 29＋y 216
＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？
活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．
学情预测：1．a ＝5，b ＝4，c ＝3，两焦点为（－3，0），（3，0）．
2．b ＝3，椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 2
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＝1等． 3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝7，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，7）；或椭圆上有一点（3，0）（答案很多）．
设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．
达标检测
1．椭圆x 264＋y 2
9
＝1上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是______．
2．动点P 到定点F 1（－5，0），F 2（5，0）的距离的和是10，则动点P 的轨迹为（ ）
A ．椭圆
B ．线段F 1F 2
C ．直线F 1F 2
D ．不能确定
3．如图所示，若AB 是过椭圆x 29＋y 2
25
＝1的下焦点F 1的弦，则△F 2AB 的周长是______． 4．椭圆4x 2＋3y 2＝12的焦点坐标是______．
5．简化方程：x 2＋y ＋32＋x 2＋y －32＝10．
（学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正．）
答案：1.10 2．B 3.20 4．（0，1），（0，－1） 5．y 225＋x 2
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＝1 课堂小结
知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）
1．椭圆的定义．（注意定义中的三个条件）
2．椭圆的标准方程．（注意焦点的位置与方程形式的关系）
3．标准方程中a ，b ，c 的关系．
4．注意体会运动变化、类比推理、抽象概括、数形结合等数学思想方法在数学学习中的运用．
5．若有时间或机会，可以引导学生得出推导椭圆标准方程更为简单的解法：
同前得，(x ＋c)2＋y 2＋(x －c)2＋y 2＝2a ，①
对①式左边分子有理化，得4cx ＝2a （(x ＋c)2＋y 2－(x －c)2＋y 2）． 即(x ＋c)2＋y 2－(x －c)2＋y 2＝2c a
x ．③ ①＋③，并整理，得(x ＋c)2＋y 2＝a ＋c a
x ． 以下从略．
布置作业
教材习题 2.2．A 组 1，2．
补充练习
基础练习
1．填空题：
（1）x 252＋y 2
32＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； （2） x 242＋y 2
62＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； （3）x 29＋y 24
＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； 2．求下列椭圆的焦点坐标：
（1）x 29＋y 24
＝1 （2）16x 2＋7y 2＝112． 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a ＝4 ，b ＝3，焦点在x 轴上；
（2）b ＝1 ，c ＝15，焦点在y 轴上；
（3）经过点P （－2 ， 0）和Q （0 ， －3）．
答案或提示或解答：1．（1）5 3 （2）6 4 （3）3 2
2．（1）（5，0），（－5，0） （2）（0，3），（0，－3）
3．（1）x 216＋y 29＝1 （2）y 216＋x 2＝1 （3）y 29＋x 24
＝1 拓展练习
4．设定点A （6，2），P 是椭圆x 225＋y 29
＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程． 解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M （x ，y ），P （x 1，y 1）；②（点与伴随点的关
系）∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵x 2125＋y 219
＝1，∴点M的轨迹方程为(x－3)2
25＋
(y－1)2
9＝
1
4；④伴随轨迹表示的范围．
本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征．多媒体创设问题情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．
学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究．
在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯，在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围．在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美．
在对教材中“令a2－c2＝b2”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当M 为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换．
例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．。