《椭圆及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
高中数学_椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计【教学目标】1.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用．2.通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力．【教学重点与难点】重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．难点：椭圆标准方程的推导与化简．【教学手段】运用多媒体和实物投影仪等辅助教学．【教学过程】一、创设情景、引入概念首先用多媒体演示地球绕太阳旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．问一:地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子．教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的．（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）二、尝试探究、形成概念引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征．学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．）启发、归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距引导学生找定义的关键处：①平面曲线；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于| F 1F 2|．（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．）三、标准方程的推导由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系→设点→列出方程→化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）问二:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）经学生讨论易得如下方案：1．建系．取过焦点12FF 的直线为x 轴，线段12FF 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系．2．设点．设(,)M x y 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则12F (,0),F (,0)c c -．又设M 与12F ,F 距离之和等于a 2(c a 22>)．3．列式．依据椭圆的定义，有{}a MF MF M P 2:21=+=．221()MF x c y =++又，222()MF x c y =-+，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴．教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法．（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而失败．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）4．化简．通过移项, 两次平方后得到：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，两边同除以222()a a c -，得 222221x y a a c +=-． （※） 由椭圆的定义可知，c a 22>,即a c >，022>-∴c a思考：观察下图，能从中找出表示22,,a c a c -的线段吗？由图可知，221212,,PF PF a OF OF c PO a c =====-．令22b PO ac ==-，那么（※）就是12222=+b y a x ．（0a b >>） 此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程．问三：如果椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，a ，b ，c 意义同上，椭圆的方程形式又如何？学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成12(0,),(0,)F c F c -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y （0a b >>），它所表示的是焦点在y 轴上的椭圆标准方程．要求学生课后推导验证．（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．）引导学生注意理解以下几点：① 在椭圆的两种标准方程中，都有0>>b a 的要求；② 在椭圆的两种标准方程中，由于22a b >，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③ 椭圆的三个参数,,a b c 之间的关系是222a b c =+，其中0,0,a b a c b c >>>>和大小不确定．四、例题讲解例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点53(,)22-,求它的标准方程 （先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）解：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221x y a b+=．)0(>>b a 由椭圆的定义知c=2,222222105353(2)()(2)()2222a =+++=+--,所以10a =,所以2221046b a c =-=-=,所以,所求椭圆的标准方程为221106x y += 例2 如图，在圆的上任取一点P ，过点P 作x轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？（先让学生分析解题思路．寻求点M (,)x y 的坐标中,x y与点P 的00,x y 之间的关系,然后消去00,x y ,得到点M 的轨迹方程.这是解析几何中求点的轨迹方程常用的相关点法.还要注意引导学生分析例1与例2的不同点．）解：设点M 的坐标为(,)x y ,点P 的坐标为00(,)x y ,则点D 的坐标为0(,0)x .由点M 是线段PD 的中点,得00,2y x x y == 因为点P 00(,)x y 在圆224x y +=上,所以22004x y += ①把00,2y x x y ==代入方程①,得 2244x y +=,即2214x y += D所以点M 的轨迹是椭圆.（说明：由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出a 与b ，根据条件写出方程；其二是由点与点之间的关系求椭圆标准方程，利用相关点法求出方程．可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步骤．）五、课堂练习，即时反馈1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 与焦点1F 的距离等于6，那么点P 与另一个焦点2F 的距离是2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 4,1a b ==焦点在x 轴上；(2)4,a b =焦点在y 轴上；(3)10,a b c +==.3.已知A ，B 两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率的商是２，点M 的轨迹是什么？为什么？六、知识整理，形成系统（由学生归纳）1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．3．求椭圆方程的方法（定义法、待定系数法求轨迹方程、相关点法求轨迹方程）．七、布置作业，巩固提高1．课本P109第3题．2．小组合作，解决课本P115第1题，P116第11题.3．探索题：结合课本P115第6题,利用信息技术手段,探索椭圆的不同几何作法.3.1.1椭圆及其标准方程学情分析在学习本节课之前,学生刚刚学习了直线与圆的方程,对曲线和方程的概念有了一定的了解,对用坐标法研究几何性质问题也有了初步的认识.因此,我们可以充分相信:在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹的知识基础和学习能力.学生对椭圆图形有了一些实物实例的认识,对椭圆的简单的图像性质有了一些简单的认识,在学生头脑中虽然有一些椭圆的实物实例,但是没有上升到“概念”的水平,因此学生渴望通过探究来掌握椭圆的有关知识,有强烈的探索欲和求知欲,因此学生能在老师的引导下展开学习活动.但是由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度也较浅.但是我所教的班级学生数学成绩较好,学生的基础和接受能力相对于其他班级学生较强一点,在学习过程中遇到困难的可能性较小一些.但考虑到从研究直线与圆的方程,跨度较大,学生在思维上也会存在一些障碍.因此在探究的过程中应加强引导,细化步骤的问题,做好知识的铺垫.本节课在求椭圆的标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,通过课前进行化简比较复杂根式的专项练习,为学生自主学习本课扫清障碍.本节课按学生思维的方式,由易到难组织教学,培养学生观察、比较、分析概括的能力，在进一步培养学生数形结合和化归的数学思想的过程中，提高学生的自主学习能力.3.1.1椭圆及其标准方程效果分析本节课采用启发式与探究式相结合的教学方式,遵循学生的认知规律,以学生的全面发展为本,面向全体学生,使学习过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，并灵活应用“创设情境，激发情意”、“全身活动，心灵体验”、“及时反馈，促进同化”的“贯穿要素”，同时借助于多媒体的合理运用，通过学生的动手操作、分组讨论、合作探究以及学生之间、师生之间的多向交流，在学习中着眼于培养学生良好的认知结构，注意适应学生的思维水平，积极促进其思维的发展.使学生始终处于思维活跃状态，使三维学习目标得以比较顺利地实现，同时重视学生的学习经历和经验，强调学生积极主动地学习.让学生获得基础知识、基本技能的过程成为学会学习的过程,促进学生全面发展.从而较好地突出了重点,突破了难点,抓住了关键.本节课面向全体学生,切实改进了学生的学习方式,做到学生在老师引导下有效学习,使学生会学习,乐于学习,为终身学习打下基础.3.1.1椭圆及其标准方程教材分析本节课是《普通高中教科书数学》(人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编著)A 版选择性必修第一册第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时.在选择性必修一第三章,教材利用三种曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题.本节课是圆锥曲线的第一课时,它是学生在学习了第二章直线与圆的方程的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线.由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本方法和理论基础.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实践，同时它也是进一步研究椭圆的几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说，椭圆放在三种曲线之首，则是它的重要性就尤其突出.因此《椭圆及其标准方程》起到了承上启下的作用.本节课的学习具有非常重要的地位,是本章和本届的重点内容.3.1.1椭圆及其标准方程评测练习1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 与焦点1F 的距离等于6，那么点P 与另一个焦点2F 的距离是设计意图:考查学生对椭圆定义的理解和掌握水平.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 4,1==焦点在x轴上；a b(2)a b==焦点在y轴上；4,(3)+==10,a b c设计意图:考查学生对椭圆标准方程的理解和掌握水平,以及分类讨论的数学思想.3.已知A，B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率的商是２，点M的轨迹是什么？为什么？设计意图:考查学生对轨迹方程的掌握情况以及思维的严谨性.3.1.1椭圆及其标准方程课后反思本节课,通过对椭圆的认识及其方程的推导,培养了学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强了用坐标法解决圆锥曲线问题的能力.通过焦点在x轴和焦点在y轴上椭圆方程的对比总结,不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解,有助于学习目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后面双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.在教学过程中采用启发、探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学生观察分析,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,极大的激发了学生的积极性和创造性.在设计例题、习题时主要是放在了强化学生能用椭圆的定义来解决问题的意识和能力，更好的调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力.通过例1,例2的学习是学生认识到求点的轨迹方程的多种方法.通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生的探索精神。
(完整版)《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。
椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。
一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。
因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。
椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。
通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。
根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是：教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。
教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。
二、学生学情分析在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。
而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的能力要求比较高，可能困难要大一点，导致学生在学习中可能出现的困难是：学生动手作图慢；用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响，学生选择坐标系的思维可能受到限制；方程的化简也是一个难点。
《椭圆的标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《椭圆的标准方程》教学设计第一课时◆教学目标1. 掌握椭圆的定义，提升学生的数学抽象素养．2.掌握椭圆的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：椭圆的定义及其标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导过程．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习椭圆的标准方程．（2）从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化．数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、探究新知在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图，我们还知道圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径，那么你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？问题2：从集合或轨迹的角度，类比圆的定义，如何定义椭圆 ?师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．预设的答案:事实上:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||21=+的动点P 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点21,F F 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为椭圆的焦距.另外，从本章导语中可以看出，椭圆也可以通过用平面截圆锥面得到，因此椭圆是一种圆锥曲线设计意图：通过具体的情景，让学生对椭圆有一个直观的印象，同时类比圆的定义，抽象出椭圆的几何定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．问题3：你能利用日常生活中的物品做出一个椭圆吗？师生活动：教师提示，学生自己尝试画出椭圆．预设的答案:画法：在平面的画板上取两个定点21,F F ，在这两个点上都订上一个图钉，将一条长度大于||21F F 的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则画出的图形是一个椭圆．设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚椭圆的形成过程．问题3：这种做椭圆的方法，实际上验证了椭圆定义中的P 点一定存在，而且有无数多个，那么从数学上能不能证明这一点呢？设21,F F 是平面的两个定点，||21F F =8，证明平面上满足10||||21=+PF PF 的动点P 有无数多个，并求P 的轨迹方程．师生活动：教师提示设点，学生尝试解答．预设的答案:以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设椭圆的焦点分别为)0,4(),0,4(21F F -．设P 的坐标为),(y x ，因为10||||21=+PF PF ，而且221)4(||y x PF ++=，222)4(||y x PF +-=，所以+++22)4(y x 10)4(22=+-y x ， ① 追问：+++22)4(y x 10)4(22=+-y x 该如何化简？师生活动：学生思考讨论后，教师引导学生从平方次数越少越好的角度思考．当0≠x 时， ≠++22)4(y x 22)4(y x +-由①得10)4()4(])4[()4(22222222=+--+++--++yx y x y x y x 整理得x y x y x 58)4()4(2222=+--++，②①+ ②整理得x y x 545)4(22+=++，③将③式平方再整理得192522=+y x ④ 当0=x 时，由①可知104222=+y ，即92=y ，此时④也成立可以验证，如果P 的坐标满足 ④式，可得10||||21=+PF PF ，不难看出方程④有无数多组实数解，这说明坐标满足10||||21=+PF PF 的点有无数个，而且P 的轨迹方程为 ④式．设计意图：通过特例，运用解析法，求出椭圆的方程，进而推广到一般，获得椭圆的标准方程．帮助学生进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．问题4：一般地，如果椭圆的焦点为21,F F ，焦距为c 2，而且椭圆上的动点P 满足a PF PF 2||||21=+，请同学们根据推导问题3的思路推导上面的表达式．师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设椭圆的焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -．设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||21=+，而且221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+++22)(y c x a y c x 2)(22=+-， ①当0≠x 时， ≠++22)(y c x 22)(y c x +-由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(])[()(22222222=+--+++--++整理得x a c y c x y c x 2)()(2222=+--++，②①+ ②整理得x ac a y c x +=++22)(，③ 将③式平方再整理得2222222)(c a y ax c a -=+- ④ 当0=x 时，由①可知a y c 2222=+，即92=y ，此时④也成立．因为0>>c a ，所以22c a >，设222b c a =-，且0>b ，则④式可化为圆的标准方程．设计意图：从知识之间本质的、逻辑的联系出发，启发学生结合所学习过的知识来联想所要学习的内容，明确知识发生的必然性，让新知识的呈现合理、自然．三、初步应用例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程．两个焦点分别是)0,3(),0,3(21F F -，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和为8； 师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为3=c ，所以7222=-=c a b ，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以所求的椭圆的标准方程为171622=+y x 设计意图：利用待定系数法求椭圆的标准方程，鼓励学生自主完成，熟练掌握解题思想与方法．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是椭圆？焦点？焦距？（2）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||21=+的动点P 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点21,F F 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为椭圆的焦距.（2设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解椭圆的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．2若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．1 设计意图：考查学生椭圆的焦点的认识．3．已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y += B ．22142x y += C ．22152x y += D ．22162x y += 设计意图：考查学生对椭圆的标准方程的求法．参考答案：1．【答案】B解：若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+ (0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+ (0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．2．【答案】C因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C3．【答案】C解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=． 故选：C。
人教A版数学高中选择性必修一《3.1.1椭圆及其标准方程》教学设计(1)
椭圆及其标准方程一、教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》，本节课主要学习椭圆及其标准方程从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。
数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
二、教学目标与核心素养三、教学重、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程难点：运用标准方程解决相关问题【思考】(1)让绳长等于两点F(2)让绳长等于两点F【方案一】如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，|PF1|+|PF2|=2a其中a>c>0. 以F1F2所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：此时,椭圆的焦点分别为F1（−c,0）和F2（c,0）椭圆的标准方程√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=2a. ①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得得√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2.②对方程②两边平方，得(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2整理，得a2−cx=a√(x−c)2+y2③对方程③两边平方，得a4−2a2cx+c2x2=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2整理得(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2)④将方程④两边同除以a2(a2−c2)，得x2 a2+y2a2−c2=1⑤由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，所以a2−c2>0.观察图，你能从中找出表示a，c，√a2−c2的线段吗？由图可知，|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c,|PO|=√a2−c2令b=|PO|=√a2−c2,那么方程⑤就是；x 2a2+y2b2=1(a>b>0) ⑥，称焦点在x轴上的椭圆方程.轴上六、课后思考。
椭圆及其标准方程教学设计（第一课时）一、教材分析《椭圆及其标准...
椭圆及其标准方程教学设计（第一课时）一、教材分析《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。
从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说，把椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线和圆分离独编一章，则椭圆的重要性就尤其突出。
因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。
二、教学目标1、知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.三、重点、难点1.重点：感受建立曲线方程基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法本节课采用“启发式，探究式”的教学方法，以问题解决为中心，注重学生学习过程，关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，立足以学生的发现为主，教师引导为辅，着眼培养学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。
同时通过动态演示的直观性、形象性增进学生对数学本质的理解、提高教学效率。
五、教具准备：多媒体课件和画图板、图钉、无弹性细绳．六、教学过程：(一)创设情景，提出课题利用多媒体演示：九大行星的运行轨迹，神州七号的运行轨迹。
问题：它们的运行轨迹是什么图形？（椭圆） 设计意图：让学生从感性上认识椭圆。
(二) 自主探究，形成概念 问题：动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？ 类比模仿：从熟悉的曲线开始研究，引导学生类比圆和椭圆，联想圆的定义，圆的定义：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。
高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计说明一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科.从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点.教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
二、教学目标设置1.课程目标（1）了解圆锥曲线与二次方程的关系；（2）掌握圆锥曲线的基本几何性质；（3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.2.单元目标（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.3.本节课教学目标（1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨迹；（2）类比建立圆的方程的方法，通过交流讨论，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程；（3）结合椭圆的标准方程和它的几何图形，能指出参数a、b、c的几何意义；（4）会用椭圆定义和标准方程解决与课本上类似的题目；（5）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
椭圆及其标准方程(第一课时) 精品教案
《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）一、课标要求理解掌握椭圆的定义，标准方程及其推导过程，会求一些简单的椭圆的标准方程．二、教学设计思想《椭圆及其标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、会求一些简单的椭圆的标准方程．（二）过程与方法通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．（三）情感态度、价值观1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．四、教学重点与难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．难点：椭圆标准方程的推导．五、教学基本流程观察演示直观认识椭圆→学生自己动手画图，“定性”认识椭圆→引导学生归纳形成椭圆定义→再提出问题，用坐标法“定量”地描述椭圆→得出椭圆标准方程→例题习题处理→练习、交流、反馈、巩固→学生归纳小结、教师评价问题设计意图师生活动1、观察计算机演示《常见椭圆的轨迹》课件，提出问题：这些轨迹是什么图形？这些曲线你还在什么地方见过？先从实际生活中有关椭圆例子出发，通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望．师：组织学生观察演示，并提出问题．生：根据自己的观察，回答出运动的轨迹是椭圆，并举出常见的一些椭圆如立体几何中圆的直观图，一些物体的横截面的轮廓线．师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见的，因而学习椭圆的有关知识是非常必要的．问题设计意图师生活动2、我们知道，动点保持某种规律运动形成的轨迹叫曲线，通过实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆师：用计算机演示《椭圆轨迹的变化》的课件，然后让学生拿出课前准备的一块纸板、一段细绳、两颗图钉按课本要求画椭圆，使其尝到成功喜悦后思考问题．那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到椭圆的概念．师：动点是在怎样的条件下运动的？生：是否到两定点距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆呢？（学生可能一时回答不出，教师可请学生观察演示课件并思考）师：当两个定点（图钉）位置变化时，轨迹发生怎样的变化？学生讨论、交流后师生共同完成下面结论：当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当两图钉（定点）重合时，得到的是圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为图形不存在．由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念．3、由于椭圆形的例子在实际生活中随处可见，因此对椭圆的研究十分重要，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？建立直角坐标系一般要符合简单和谐化的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化．师：提出问题，启发、强调建立适当坐标系的重要性．生：讨论、交流、归纳（大体有如下三种方案）：a．取一定点为原点，以F1F2所在直线为x轴；b．以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点；c．以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点．问题设计意图师生活动（续上）（续上）师生通过归纳评议，分析各种方案的利弊，由椭圆的对称性，最后确定采取方案b．4、选择方案b，椭圆上的点满用数学表达式表示椭圆．教师启发学生由椭圆的定义，得出表示椭圆的集合：{}12|||||2P M MF MF a=+=．足什么条件？能否用集合表示出来？5、如何推导出椭圆的方程？引导学生分析，鼓励学生自行推导、概括，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力．教师指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），从而得到：222221x ya a c+=-并思考：此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为应如何变形，使之更为简洁．师：引导学生观察课本2．1-3，从中找出22a a c-，c,，并把椭圆方程整理成：22221x ya b+=并指出上式就是椭圆的标准方程．6、若选定方案c，方程的形式又怎样？让学生利用对称性进行猜想，培养学生类比、归纳的能力．提出不必运算，让学生合理猜想，注意引导学生两个方程形式相同，仅仅是x、y的位置互换了，进一步得出：22221y xa b+=．7、两个椭圆方程中，a、b、c 三者的大小关系怎样？关系如何？强调椭圆方程的限制条件．师生归纳得出：222,0,a b a c a b c a b c>>>+=且、、且一般写成0a b>>．问题设计意图师生活动8、两个方程中，焦点位置与方程形式有何关系？注意椭圆的焦点位置和方程形式的关系，切忌混淆．师：提出问题，引导学生回答出两种形式的椭圆的焦点是什么？生：方程22221x ya b+=的焦点坐标为12,0),(,0)F c F c x -（在轴上，22221y x a b +=的焦点坐标为120,),(0,)F c F c y -（在轴上.师：其判断的依据是：222a b a x y 与中，与、哪一个对应，焦点就在哪条坐标轴上．9、自学例1，并解决习题A 组第5题第1小题，总结求简单椭圆方程的方法、步骤．巩固所学知识，培养学生自学能力和归纳总结能力． 师：指导学生阅读教材的例1．生：阅读例1，并完成习题第5题第1小题． 师生归纳求椭圆方程的方法、步骤（①确定焦点位置；②求a 、b ）．10、课堂反馈 练习第一题和第二小题．反馈学生对知识掌握情况．生：独立完成练习第1题和第2题． 师：巡堂指导，并组织学生对自己解答进行评价．11、课堂小结：教师提出问题供学生思考：1．本节课我们是如何得到椭圆的定义的，从中你学习到什么知识？2．坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，从中你有什么体会？3．通过本节课的学习，你能掌握求曲线方程的一般步骤方法吗？你还学会了什么？ 学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充．教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充．（续上表）12、作业：习题2．1A组5．（1）（2）（3）补充：“神州6号”宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点，远地点离地面的距离大约分别为115R R1，3，求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程．探究：通过学习，你能根据椭圆的定义，利用直尺和圆规描点画椭圆吗？若能，请你设计画法．几点说明：（1）本节课容量大，建议采用信息技术创设教学情景．（2）教学中教师应该注意少讲，还应力求克服单纯展示课件的教学形式，使计算机辅助教学的作用得以充分发挥，应该给学生充分的时间去尝试、思考、交流、讨论和表述，从而使学生想象、发现问题的空间更加广阔．。
椭圆及其标准方程（第1课时）教学设计
椭圆及其标准方程（第1课时）教学设计一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础知识。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。
但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我采取的是“创设问题情景-----自主探索研究-----结论应用巩固”的一种研究性教学方法，教学中采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使学生真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的实用性；2、进行分组实验，让学生亲自动手，体验知识的发生过程，并培养团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆形状的物体？对学生的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使学生简单了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对研究椭圆产生心理期待。
《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。
椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。
一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。
因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。
椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。
通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。
根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是：教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。
教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。
二、学生学情分析在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。
而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的能力要求比较高，可能困难要大一点，导致学生在学习中可能出现的困难是：学生动手作图慢；用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响，学生选择坐标系的思维可能受到限制；方程的化简也是一个难点。
高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计
高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计本节课是解析几何的重要内容，需要学生具备一定的代数基础和几何直观。
同时，椭圆的定义和标准方程是本节课的重点，需要学生掌握。
对于一些概念性知识，需要通过实例和图像来帮助学生理解。
另外，本节课还需要学生具备一定的数学思维能力，如类比思想和数形结合思想。
因此，教师需要根据学生的学情，采用多种教学方法，提高学生的研究兴趣和参与度。
通过介绍一个人在椭圆形的跑道上跑步的情境，引出椭圆的概念和特点；2.探究椭圆的定义：学生分组合作画出椭圆，并在此基础上抽象概括出椭圆的定义；3.推导椭圆标准方程：引导学生类比建立圆的方程的方法，在椭圆上建立恰当的直角坐标系，然后化简动点满足的代数方程；4.练与巩固：通过多组练题，巩固学生对椭圆标准方程的掌握；5.总结与归纳：引导学生总结本节课所学内容，强化学生对椭圆的认识和掌握。
本节课采用启发探究式的教学方式，通过情境创设和问题引导，激发学生的研究兴趣和思考能力，引导学生自主探究和发现知识，达到提高学生思维水平和知识掌握程度的目的。
同时，采用多种教学手段和策略，如手工制作教具、多媒体演示等，使教学内容更具生动性和趣味性，提高课堂效率。
首先，我们回顾了已学的曲线方程和求解步骤，并通过多媒体演示展示了生活中和天体运行中的椭圆例子，引出了本节课要研究的问题。
研究本节课的内容后，我们可以解决这些问题。
接下来，我们让学生用自制教具画椭圆，并引导他们思考三个问题：(1)视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹是什么？(2)若绳长等于两图钉之间的距离，画出的图形还是椭圆吗？(3)若绳长小于两图钉之间的距离呢？通过画图、思考和讨论，学生探究出三个结论并概括出椭圆的定义。
最后，我们给出了一个例子，让学生用椭圆的定义判断动点M的轨迹是否为椭圆，并给出了解答。
例子的目的是让学生应用所学知识，并及时评价他们的研究效果。
整个教学过程中，我们通过复、实验和应用举例等方式，让学生在活动中研究，培养他们的自主探索和抽象思维能力，使他们成为研究的主人。
《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计
《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计一教材分析本节课是选修2-1《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础。
这节课是在之前“直线和圆的方程”的基础上，将研究曲线的方法进行了拓展，也是后面学习双曲线和抛物线的前提准备。
因此本节内容起到一个承上启下的作用。
本课是概念性教学，同时椭圆的概念是“圆锥曲线”这一章的重点。
原因是：1、它的概念对学生来讲是全新的一个概念，同时它也是对求轨迹方程的步骤和方法的巩固和加深。
2、它是后续内容的一个基础。
从椭圆到双曲线、抛物线，对学生来说，都是不很熟悉的概念，对椭圆概念掌握的好坏，不但会影响对它本身概念的掌握，而且会影响对双曲线、抛物线的学习效果。
二学情分析我所带班级学生的数学运算能力，分析问题、逻辑推理能力相对比较弱，在核心素养指导下，我采用翻转课堂教学模式。
所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的基础障碍，以提高他们学习的积极性和主动性。
三教学目标知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。
能力目标：培养学生数形结合和待定系数等数学思想方法，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法。
四重点、难点重点：椭圆的定义和标准方程的的形式、特点; 焦点坐标的对应关系。
难点：椭圆的标准方程的推导过程。
五教学方法（一）.课前：推送一道作业题和微视频已知线段AB 的长为2c，平面内一动点M到线段两端点的距离之和等于2a,（a>c>0）求动点M的轨迹方程。
配以微视频，因学生的计算能力和根式的化简较弱，化简不了的可以结合视频学习得出方程。
（为突破本节课的难点做基础）（二）课中：实验探究，形成概念同桌两人准备5-10厘米的小细线操作<1>固定一条细线的两端,用笔尖将细线拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?<2>如果调整1F 、2F 的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？学生经过动手操作→小组讨论交流的探究过程，得出这样三个结论：若|F F ||PF ||PF |2121<+, 则点P 的轨迹不存在.归纳并引导学生概括出椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计
《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计一．教材及学情分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修1－1第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：、”（大于定点间的距离称为焦距。
的点的轨迹是线段与两个定点以直线轴，以线段的垂直平分线为．为椭圆上任意一点，点与点．②动点:设，方程简化为：建立焦点在要建立焦点在轴上的椭圆的标准方，需将轴、焦点在轴上的椭圆的标准方程为辨析焦点分别在轴、区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若大，则焦点在②两种情况中都有到点到点到点））椭圆经过点。
人教版高中数学优质教案1：2.1.1 椭圆及其标准方程(一) 教学设计
2.1.1 椭圆及其标准方程（一）一、教学目标1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义, 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．3．情感目标（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.二、重点、难点重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．难点：椭圆标准方程的推导与化简．三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．四．教具准备：多媒体课件和自制教具：呼啦圈，绘图板、图钉、细绳．五、教学过程（一）创设情境，认识椭圆．材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：“嫦娥一号”模拟轨道图．2007年10月24日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功, 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．请问：“嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）引入课题：椭圆及其标准方程．（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.）（二）动手实验，亲身体会．1．教师演示，引出研究思路．教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．思考：在圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生研究椭圆．）2．学生分组试验．(1)取一条细绳；(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点1F 、2F ；(3)用铅笔尖（M ）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？（教师巡视指导，展示学生成果）3.分析实验，得出规律．(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律：1212||||||MF MF F F +>轨迹为椭圆；1212||||||MF MF F F +=轨迹为线段；1212||||||MF MF F F +<轨迹不存在．（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）（三）总结归纳，形成概念．定义：平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.） 问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？)22(221c a a MF MF >=+.（设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.）（四）合理建系，推导方程．1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；（5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）2.如何选取坐标系？【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点；方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点；方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2与x 轴的左交点为原点；方案四：把F 1、F 2建在y 轴上，以F 1F 2的中点为原点；教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一.（设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．）3．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点， 则{}a MF MF M P 221=+=（称此式为几何条件）， ∴得()()a y c x y c x 22222=++++-（实现集合条件代数化），（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得)()(22222222c a a y a x c a -=+-．（2）b 的引入．由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->． 让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时设222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+，两边同时除以22b a ，得到方程：()222210x y a b a b +=>>（称为椭圆的标准方程）． （3）建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．要建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？ 方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x ，y 交换了位置），直接得到方程．方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系(关于直线x y =对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在x 轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线y x =翻折即可转化成图3；图1 图3(4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁.（设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y 轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）4．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c 的关系：222c a b -=)0(>>b a ；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（五）尝试应用，范例教学．例写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是()02-，、()02，，并且经过点P 3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，投影学生[答案]．学生讨论总结．）解题思路1：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆方程的标准方程12222=+bx a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2b 的值，从而得到椭圆的标准方程为161022=+x y ． (设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.)解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，到两个焦点()02-，、()02，的距离之和为常数2a ）求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程．（设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.）（六）回顾反思，归纳提炼.1.椭圆定义；2.椭圆标准方程；3.解题思想方法．（七）课后作业，巩固提高．（八）板书设计：。
椭圆及其标准方程第一课时教学设计
（1）确定焦点的位置；
（2）设出椭圆的标准方程；
（3）求出a、b的值，写出椭圆的标准方程.
引导学生学会反思，归纳所学知识.
布置作业
必做题：基础题：习题8.1第3题
提高题：习题8.1第5题
选做题：变式题
定义
不
同
点
图形
标准方程
焦点坐标
相同点
a、b、c关系
焦点位置判断
作业由必做题和选做题组成，以满足不同学习层次学生的学习需求，励学生自主学习.
平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意：
（1）必须在平面内;
（2）常数（大于 ）；
（3）如果 ，则点的轨迹是线段；
（4）如果 ，则点的轨迹不存在.
让学生自己、动手操作画出椭圆，并探究归纳定义.
启发引导
推导方程
分析类比
情感态度与价值观：
通过动手实验、合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨；
教法学法
根据本课的特点、学情以及目标设计，采用以讲授法为主、结合问答法的教学方法.
在教学过程中，让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，充分调动学生的积极性和主动性.
教学用具
多媒体、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ笔、细绳、纸、图钉、黑板、粉笔
以小组为单位，讨论以下两个问题：
问题1：笔尖的运动轨迹是怎样的？
问题2：在作图时，视笔尖为动点 ，动点 到两定点 的距离之和满足什么条件？
学生经过动手操作——独立思考——小组讨论——共同交流的探究过程，讨论得到：当 时，生成的轨迹为椭圆.且动点 到两定点 的距离之和满足以下条件：（1）；
《椭圆及其标准方程》录像课的教学设计
课题：《椭圆及其标准方程》第一课时一、教材分析[教学内容]：教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修1-1§2.1.1《椭圆及其标准方程》。
[教材处理]：①《椭圆及其标准方程》共两课时，本节是第一课时，主要完成椭圆定义及其标准方程的探索。
第二课时对椭圆定义及其标准方程的拓展及应用。
②提前介绍根式方程的解法。
[教材地位与作用]：《椭圆及其标准方程》是继圆之后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线问题的又一实例。
椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。
从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。
[教学重点与难点]教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
教学难点：椭圆图形的形成条件的探究；椭圆定义和椭圆标准方程的联系。
二、目标分析【知识与技能】①掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程；会根据条件写出椭圆的标准方程；会根据标准方程求焦距与焦点坐标。
②通过对椭圆标准方程的探求，进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高运用坐标法的自觉性。
【过程与方法】在探究椭圆的画法、椭圆形成的条件、归纳椭圆的定义，获得设焦点在不同位置的椭圆标准方程的过程中，提高学生的动手操作能力，养成学生运用数学思想方法解决问题的意识，获得运用知识解决实际问题的能力。
【情感与态度】①通过创设问题情景，激发学生学习数学的兴趣；②通过研究方程揭示椭圆的内在性质与规律，培养学生锲而不舍的钻研精神；③从椭圆的图形及其标准方程中体会数学的对称美，数与形结合的和谐美，提高学生审美情趣；④通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
三、教法与学法【学情分析】：学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有初步的认识。
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《椭圆及其标准方程》第1课时教学设计本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础．因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一．因此这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其他两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到椭圆的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，经过问题思考→研究讨论→点拨引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习的自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．课时分配本节内容分两课时完成．第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．掌握椭圆的定义及其标准方程；能正确推导椭圆的标准方程；明确焦点、焦距的概念．教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．引入新课1．通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片（PPT），让学生从感性上认识椭圆．2．通过动画设计（几何画板演示），展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹．探究新知探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？下面请同学们在绘图板上作图，并思考以下问题：在作图时，因为笔尖M运动，所以为动点，两个图钉F1、F2不动，所以为定点．1．在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？其轨迹是什么曲线？2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？4．两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？5．当绳长满足什么条件时，动点M形成的轨迹是椭圆？活动设计：两个学生一组，合作操作画图过程，并思考上述问题，必要时，允许合作、讨论、交流．教师巡视指导，及时发现问题，解决问题．活动成果：1．|MF1|＋|MF2|＝绳长（定值）；椭圆；2．不是椭圆，是线段F1F2；3．不能；4．以F1（F2）为圆心，以绳长的一半为半径的圆；5．当两图钉F1、F2之间的距离不为0且绳长大于两图钉F1、F2之间的距离时．提出问题：类比平面几何中圆的定义，给出椭圆的定义．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出椭圆定义：平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离之和等于常数、常数大于|F1F2|）设计意图：通过上述操作、思考问题使学生建立起对椭圆的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程．为今后通过方程研究椭圆的性质做好准备．提出问题：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：如图，已知椭圆的两焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2c，对椭圆上任一点M，有|MF1|＋|MF2|＝2a，尝试建立椭圆的方程．提出问题：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导．学情预测：学生的建系方法应当会有很多种．活动结果：教师将各个学生或学习小组的建立坐标系的方案一一画图表示．然后，提醒全班学生应当类比利用圆的对称性建立圆的标准方程时的建立坐标系的方法，根据椭圆的几何特征（主要是对称性），选择适当的坐标系，才可能使建立的椭圆方程简单．这样，师生就会达成一致意见，选定以下两种方案：方案一：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy．方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系xOy．方案一方案二提出问题：请同学们按方案一具体求出椭圆的方程． 活动设计：学生独立解决．必要时，为顺利完成教学，教师应当介入，加以指导、提示． 设点：设椭圆上任一点M 的坐标为（x ，y ）．列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(x ＋c)2＋y 2＋(x －c)2＋y 2＝2a ．①化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎样化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）(x ＋c)2＋y 2＝2a －(x －c)2＋y 2．两边平方，得（x ＋c ）2＋y 2＝4a 2－4a (x －c)2＋y 2＋（x －c ）2＋y 2．即a 2－cx ＝a (x －c)2＋y 2．两边平方，得a 4－2a 2cx ＋c 2x 2＝a 2（x －c ）2＋a 2y 2．整理，得（a 2－c 2）x 2＋a 2y 2＝a 2（a 2－c 2）．（※）学情预测：一般情况下，得到方程（※）即告结束．提出问题：设方案一中的椭圆与x 轴的交点分别为A 1，A 2，与y 轴的交点分别为B 1，B 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？活动设计：学生先独立思考，必要时，可以重复开始的画椭圆的过程，并可合作交流．学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题． 提出问题：当动点M 移动到B 1或B 2点时，根据椭圆的定义及坐标系的建立方式，你还能发现新的结论吗？学情预测：学生会发现：|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ＝|B 1F 1|＝|B 1F 2|．教师：这样，因为△B 2OF 2为直角三角形，且|B 2F 2|＝a ，|OF 2|＝c ，所以，a 2－c 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的a 2－c 2有明显的几何意义．为此，令|OB 2|＝b ，则a 2－c 2＝b 2．于是，方程（※）可以进一步化简为：b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2．（☆）学情预测：一般情况下，得到方程（☆），本题求解也即告结束．提出问题：非常好．这个方程两边次数一致，非常工整，类似这种结构的方程在哪儿见过，怎么处理的呢？活动设计：学生可以互相讨论、启发，必要时教师可以提示．活动结果：直线的截距式方程x a ＋y b＝1就是由bx ＋ay ＝ab 化得的．因此． 方程（☆）可以进一步整理成：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）（这种形式“美”）． 指出：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0），且c 2＝a 2－b 2．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），椭圆的方程又如何呢？教师：列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即x 2＋(y ＋c)2＋x 2＋(y －c)2＝2a ．②试比较①②两式，它们有何区别与联系？发现只需交换①式中x 和y 的位置，即得②式，反之也成立．所以，易知，只需将x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）中的x 和y 的位置互换，即得焦点在y 轴上的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0）． 教师指出：我们所得的两个方程x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0）都是椭圆的标准方程． 提出问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论也允许．活动结果：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．理解新知1．观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a ，b ，c 满足关系式：b 2＝a 2－c 2（a >b >0）；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填写下表b 2＝a 2－c 2 b 2＝a 2－c 2 （±c ，0） （0，±c ） 在y 轴上运用新知 1已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3 m ，求这个椭圆的标准方程．思路分析：巩固椭圆的标准方程，通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性．解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出椭圆的标准方程．解：以两焦点F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）． 根据题意知2a ＝3，2c ＝2.4，即a ＝1.5，c ＝1.2，所以b 2＝a 2－c 2＝1.52－1.22＝0.81．因此，这个椭圆的标准方程为x 22.25＋y 20.81＝1． 点评：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；（2）掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； （3）培养学生运用知识解决问题的能力．2求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10．（2）两焦点坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－32，52）．（教材例题改编）（3）a ＋b ＝10，c ＝25．思路分析：（1）根据题设容易知道c ＝4，2a ＝10且椭圆焦点在x 轴上；（2）思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点（－32，52）到两个焦点（0，－2）、（0，2）的距离之和为常数2a ）求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出b 2的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），再将椭圆上点的坐标（－32，52）代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出a 2、b 2的值，从而得到椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1． （3）利用已知条件得a 2－b 2＝20，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10，a 2－b 2＝20， 解得a ，b ．然后根据焦点位置分别写出焦点在x 轴和y 轴上的椭圆方程．答案：（1）x 225＋y 29＝1 （2）y 210＋x 26＝1 （3）x 236＋y 216＝1或y 236＋x 216＝1． 点评：加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，加深对定义的理解和对分类讨论数学思想方法的运用．教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 2．已知a ＝5，c ＝4，则你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）3．已知a ＝4，______，可以求得椭圆的标准方程为x 29＋y 216＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．学情预测：1．a ＝5，b ＝4，c ＝3，两焦点为（－3，0），（3，0）．2．b ＝3，椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1等． 3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝7，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，7）；或椭圆上有一点（3，0）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．椭圆x 264＋y 29＝1上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是______．2．动点P 到定点F 1（－5，0），F 2（5，0）的距离的和是10，则动点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．线段F 1F 2C ．直线F 1F 2D ．不能确定3．如图所示，若AB 是过椭圆x 29＋y 225＝1的下焦点F 1的弦，则△F 2AB 的周长是______． 4．椭圆4x 2＋3y 2＝12的焦点坐标是______．5．简化方程：x 2＋y ＋32＋x 2＋y －32＝10．（学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正．）答案：1.10 2．B 3.20 4．（0，1），（0，－1） 5．y 225＋x 216＝1 课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）1．椭圆的定义．（注意定义中的三个条件）2．椭圆的标准方程．（注意焦点的位置与方程形式的关系）3．标准方程中a ，b ，c 的关系．4．注意体会运动变化、类比推理、抽象概括、数形结合等数学思想方法在数学学习中的运用．5．若有时间或机会，可以引导学生得出推导椭圆标准方程更为简单的解法：同前得，(x ＋c)2＋y 2＋(x －c)2＋y 2＝2a ，①对①式左边分子有理化，得4cx ＝2a （(x ＋c)2＋y 2－(x －c)2＋y 2）． 即(x ＋c)2＋y 2－(x －c)2＋y 2＝2c ax ．③ ①＋③，并整理，得(x ＋c)2＋y 2＝a ＋c ax ． 以下从略．布置作业教材习题 2.2．A 组 1，2．补充练习基础练习1．填空题：（1）x 252＋y 232＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； （2） x 242＋y 262＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； （3）x 29＋y 24＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； 2．求下列椭圆的焦点坐标：（1）x 29＋y 24＝1 （2）16x 2＋7y 2＝112． 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a ＝4 ，b ＝3，焦点在x 轴上；（2）b ＝1 ，c ＝15，焦点在y 轴上；（3）经过点P （－2 ， 0）和Q （0 ， －3）．答案或提示或解答：1．（1）5 3 （2）6 4 （3）3 22．（1）（5，0），（－5，0） （2）（0，3），（0，－3）3．（1）x 216＋y 29＝1 （2）y 216＋x 2＝1 （3）y 29＋x 24＝1 拓展练习4．设定点A （6，2），P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程． 解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M （x ，y ），P （x 1，y 1）；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵x 2125＋y 219＝1，∴点M的轨迹方程为(x－3)225＋(y－1)29＝14；④伴随轨迹表示的范围．本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征．多媒体创设问题情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究．在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯，在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围．在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美．在对教材中“令a2－c2＝b2”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当M 为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．。