异面直线所成的角求法-答案(试题学习)

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专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。

异面直线所成的角测试题(含答案).docx

一、单选题（共10道，每道10分）1.如图，E, F分别是三棱锥P-ABC的棱AP, BC的中点，PC=& AB=6, EF=5,则异面直线AB 与PC 所成的角是（）A.30°B.60°C.90°D.120°答案：C解题思路：如图，取刖中点G,连接GE GF,•・・E, F分别是丸匕EC的中点，PC=& AB=6, GEII AB, GFII PC, GE=3, GF=4,异面直线•仞与PC所成的角即为/EGF,在ZkEFG 中，满足GE2^GF2 =EF2,/- AEFG是直角三角形，且Z£GF=90。

，即异面直线肋与PC所成的角是90。

・故选C.2.如图，在长方体曲仞一40&。

1中，羽= 2"="°, G是cq的中点，则直线4G与EG所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.120°答案:C解题思路：如图,取44］的中点E,连接EG, BE,易证，EG,・・・直线4G与PG所成的角可转化为EG与BG所成的角，即ZBGE,T AA X— 2AB = 2AD , G是CQ 的中点，/. /\BGE是等边三角形，••厶GE=6g即直线赵C芍BG所成的角是60。

・故选C.试题难度：三颗星知识点：界面直线及其所成的角3.如图，在正方体曲CD-40iCi£）i屮，点p在线段上运动，则异面直线CP与牌所成的角&的取值范围是（）A.O。

<^<90°B 0° GW 90°C.0。

W0W 60°D 0°60°答案:D解题思路：如图，连接川C, CD1,则码II CD,,异面直线CP与码所成的角即为CP与C®所成的角, 即e=ZPCD\,•・• △zpc是等边三角形，・•・当点P和点加重合时,扫60。

专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生

【考点1】空间角，距离的求法【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ；（2）求G 到平面PAC 的距离．【考点2】立体几何综合问题【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起，使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥；（Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ．（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。

异面直线所成角练习

1．如图,在正方体1111ABCDA B C D 中,异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．90 答案D 解析试题分析：如图所示,连接B 1C,则B 1C ∥A 1D,B 1C ⊥BC 1,∴A 1D ⊥BC 1,∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,AA 1＝2,∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°,则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值 A ．63．147 C ．155 D ．105答案B 解析试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c===,则11,AC a b c A D b c =++=-,112,7AC A D ∴==,11111114cos ,7AC A D AC A D AC A D⋅<>==; 考点：空间向量的集合运算及数量积运算;3．正方体1111ABCD A B C D -中,,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点,则直线EF 与GH 所成的角是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案C 解析试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ,所以异面直线所成角为11A BC ∠,大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是11B C 的中点,则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为 A．510- D．答案B 解析试题分析：取BC 中点F ,连结1,FD FC ,则1DC F ∠为异面直线所成角,设边长为2,11C F DC DF ∴==1cos 5DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角5．如图,正四棱柱ABCD A B C D ''''-中底面是正方形,侧棱垂直于底面,3AA AB '=,则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为A 、910B 、45C 、710D 、35答案A 解析试题分析：连结'BC ,异面直线所成角为''A BC ∠,设1AB =,在''A BC ∆中''''AC AB BC ===''9cos 10A BC ∴∠=考点：异面直线所成角6．点P 在正方形ABCD 所在平面外,PA ⊥平面ABCD ,AB PA =,则PB 与AC 所成的角是 A ．︒60 B ．︒90 C ．︒45 D ．︒30 答案A 解析试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2,．所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠,由题意可知：2===AF AE EF ,所以 60=∠FEA ．考点：异面直线的位置关系．7．如图所示,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱CD 的中点,则→M A 1与→1DC 所成角的余弦值为A.62-B.62C. 1010- D.1010 答案A 解析试题分析：以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz ,由棱长为1,则111(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2D A M C ,所以111(1,,1),2A M DC (0,1,1),故11cos ,A M DC 101223622,故选A. 考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体1111D C B A ABCD -中,F E 、分别为BC AB 、中点,则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为A ．23 B ．33 C ．22 D ．21 答案D 解析试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠ 即为所成的角;1B AC 为等边三角形,所以11cos cos602B AC ∠==考点：异面直线所成的角9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段AD 1上运动,则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是A.B.C.D.答案D解析如图,连结CD',则异面直线CP 与BA'所成的角θ 等于∠D'CP,由图可知,当P 点与A 点重合时,θ＝3π 当P 点无限接近D'点时,θ趋近于0.由于是异面直线,故θ≠0. 选D考点：空间几何体,异面直线所成角10．如图,正方体1111ABCD A B C D -,则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时,三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时,直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时,二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点,则M 点的轨迹是过1D 点的直线其中真命题的个数是PA ．1B ．2C ．3D ．4 答案C 解析试题分析：①∵1BC ∥平面1AD ,∴1BC ∥上任意一点到平面C AD 1的距离相等,所以体积不变,正确．②P 在直线1BC 上运动时,直线AB 与平面C AD 1所成角和直线1AC 与平面C AD 1所成角不相等,所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时,AP 的轨迹是平面1PAD ,即二面角C AD P --1的大小不受影响,所以正确．④∵M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点,∴M 点的轨迹是一条与直线1DC 平行的直线,而111C D DD =,所以正确,故答案为：C .考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 .11．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB 的中点为M,DD 1的中点为N,则异面直线B 1M 与CN 所成的角是A. 0B. 45C. 60D. 90答案D 解析试题分析：解：取1AA 的中点E ,连接EN ,BE 交M B 1于点O ,则BC EN //,且BC EN = ∴四边形BCNE 是平行四边形 CN BE //∴BOM ∠ 就是异面直线M B 1与CN 所成的角,而ABE Rt M BB Rt ∆≅∆1M BB ABE 1∠=∠∴,AEB BMB ∠=∠1,090=∠∴BOM ．故选D ．考点：异面直线所成角12．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2AA ,则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于答案60° 解析试题分析：由直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长12AA 得12,BD = 由11ABA B 知1ABD ∠就是异面直线11A B 与1BD 的夹角,且111cos ,2AB ABD BD ∠== 所以1ABD ∠=60°,即异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于60°．考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13．如果直线AB 与平面α相交于B,且与α内过点B 的三条直线BC,BD,BE 所成的角相同,则直线AB 与CD 所成的角=_________. 答案090解析试题分析：因为,直线AB 与平面α相交于B ,且与α内过点B 的三条直线,,BC BD BE 所成的角相同,所以,直线AB 在平面α内的射影应是,BC BD 夹角的平分线,同时也应是,BD BE 夹角及,BC BE 的平分线,因此,直线AB 在平面α内的射影是点B ,即AB α⊥,而CD α⊂,所以AB CD ⊥,直线AB 与CD 所成的角为090 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为60°,则1DB 和11C A 所成角大小为____________. 答案6arccos 6解析试题分析：由于ADAB C A AD AA AB DB +=-+=1111,,而=⋅111A C DB ADAB AB AD AB AD AA AB ⋅+=+⋅-+21)(][ABAD AD AA AB AA ⋅-⋅+⋅+11-2AD4=,同理求1122121211212AA AB AD AA AB AD AA AB DB ⋅+++=-+=AD AA AD AB ⋅-⋅-1122=8,1DB =22 ,同理：=11A C 32,设1DB 和11C A 所成角大小为θ,则6632224,cos cos 111111111=⋅=⋅⋅=><=A C DB A C DB A C DB θ,66arccos =θ. 考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角； 15．已知四面体ABCD 中,32DA DB DC ===,且,,DA DB DC 两两互相垂直,点O 是ABC ∆的中心,将DAO ∆绕直线DO 旋转一周,则在旋转过程中,直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是___ _答案63. 解析试题分析：当BC OA //时,直线DA 与直线BC 所成角最小,对应的余弦值最大,即OAD ∠cos ；易知：6===BC AC AB ,32336=⨯=OA ,362332cos ===∠DA OA OAD . 考点：异面直线所成的角.16．如图所示,1111D C B A ABCD -为正方体,给出以下五个结论：①//BD 平面11D CB ； ②1AC ⊥平面11D CB ；③1AC 与底面ABCD 2 ④二面角111C D B C --2；⑤过点1A 且与异面直线AD 和 1CB 均成70°角的直线有2条．其中,所有正确结论的序号为________．答案①②④ 解析试题分析：如下图,正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中,由于BD ∥B 1D 1 ,由直线和平面平行的判定定理可得BD ∥平面CB 1D 1 ,故①正确．由正方体的性质可得B 1D 1⊥A 1C 1,CC 1⊥B 1D 1,故B 1D 1⊥平面 ACC 1A 1,故 B 1D 1⊥AC 1．同理可得 B 1C ⊥AC 1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得,AC 1⊥平面CB 1D 1 ,故②正确． AC 1与底面ABCD 所成角的正切值为1222CC AC ==,故③不正确．取B 1D 1 的中点M,则∠CMC 1 即为二面角C ﹣B 1D 1﹣C 1的平面角,Rt △CMC 1中,tan ∠CMC 1=1122CC C M ==故④正确．如下图,由于异面直线AD 与CB 1成45°的二面角,过A 1 作MN ∥AD 、PQ ∥CB 1,设MN 与PQ 确定平面α,∠PA 1M=45°,过A 1 在面α上方作射线A 1H,则满足与MN 、PQ 成70°的射线A 1H 有4条：满足∠MA 1H=∠PA 1H=70°的有一条,满足∠PA 1H=∠NA 1H=70°的有一条,满足∠NA 1H=∠QA 1H=70°的有一条,满足QA 1H=∠MA 1H=70°的有一条．故满足与MN 、PQ 成70°的直线有4条,故过点A 1与异面直线AD 与CB 1成70°角的直线有4条,故⑤不正确．故答案为 ①②④．考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.17．如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心,G 是CC 1的中点;设GF,C 1E 与AB 所成的分别为βα,,则=+βα答案2π 解析试题分析：取正方形B 1C 1CB 的中点为点O,连结,1OC ,OE 取BC 的中点为点A ,连结,GH FH ,通过分析可知//1OC ,GH //OE FH得平面//1EO C 平面,GFH 设正方形边长为2,在GFH∆中,,2=GH 1=FH ,3=GF ,则,31cos ,32sin ==αα在EOC 1∆中,,2=OE ,6!=E C 21=OC ,则,3162sin ==β,3262cos ==β所以=+βα2π; 考点：直线与平面所成角,面面平行问题;18．如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC,AB ＝BC ＝AA 1,∠ABC ＝90°,点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点,则直线EF 和BC 1的夹角是答案3π 解析试题分析：如图所示,建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA 1,不妨取AB=2,则E0,1,0,F0,0,1,C 12,0,2．∴EF =0,﹣1,1,1BC =2,0,2．∴11121cos ,2||||28EF BC EF BC EF BC ⋅<>===⋅⋅．∴异面直线EF 和BC 1的夹角为3π．故答案为:3π．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．19．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,0190,2,1ACB AA AC BC ∠====,则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．6解析试题分析：由于AC ∥11A C ,所以11BA C ∠或其补角就是所求异面直线所成的角,在11BA C ∆中,16A B =,111AC =,15BC =,116156cos 6261BAC +-∠==⨯．考点：异面直线所成的角． 20．在正三棱柱111C B A ABC -中,各棱长均相等,C B BC 11与的交点为D ,则AD 与平面C C BB 11所成角的大小是_______．答案60o解析试题分析：如图所示取BC 中点E,连接AE,DE,易得AD 与平面C C BB 11所成角为ADE ∠,设正三棱柱棱长为2,则等边三角形ABC,边上的中线3AE =,1DE =,直角三角形中60oADE ∠= 考点：直线与平面所成的角.21．如图,直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,AB ＝AC ＝1,AA 1＝2,∠B 1A 1C 1＝90°,D 为BB 1的中点,则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为__________．答案1515解析试题分析：求异面直线所成的角,关键是作出这个角,一般把异面直线的一条平移后与另一条相交,得到要求的角当然异面直线所成的角不大于90︒本题中我们就可以把1C D 向下平移到过点C 实际作图时,是延长1B B 到E ,使1BE B D =,则有1CE C D ∥,然后在1A CE ∆中求出1A CE ∠,就可得出题中要求的角．考点：异面直线所成的角．22．四棱锥P —ABCD 的所有侧棱长都为5,底面ABCD 是边长为2的正方形,则CD 与PA 所成角的余弦值为 .答案55 解析试题分析：∵正方形ABCD 中,CD ∥AB,∴∠PAB 或其补角就是异面直线CD 与PA 所成的角,△PAB 中,PA=PB=5,AB=2,∴cos ∠PAB=552525452222=⨯⨯-+=⋅-+AB PA PB AB PA . 考点：1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角 23．如图所示,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,将此正方形沿EF 折成直二面角后,异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为 .答案12解析试题分析：过F 做FH //DC ,过A 做AG EF ⊥,连接GH ,在三角形AGH 中,102AH 344=+＝, AFH ∠即为异面直线AF 与BE 所成角. 设正方形ABCD 的边长为2,则在AFH 中,AF 1FH 2AH 3===，，∴1cos AFH 2∠=,故答案为12. FAE B C D考点：异面直线所成的角的计算1111ABCD A B C D -11E C D 为AE BC答案 23解析如图,由AD BC DAE ⇒∠∥是异面直线AE 与BC 所成角,连结DE , 则DE ⊂平面1CD 中11DE AD DE AD ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面CD 平面CD 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,则2,AD DE ====Rt ADE ∆在中,3==2cos 3AD DAE AE ∠== 25．有一中多面体的饰品,其表面右6个正方形和8各正三角形组成如图,AB 与CD 所成的角的大小是_____________答案3π 解析AB 与CD 是正方形的边,则//AB EF ,//CD FG , 因为EF 和FG 是正三角形EFG 的两边,则AB 与CD 所成的角为3π． 26．如图,在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,棱长为1,已知B 1E 1=D 1F 1=.4311B A 则BE 1与DF 1所成的角的余弦值为 .ABDC答案257 解析略 27．图2是正方体的展开图,其中直线AB 与CD 在原正方体中的成角的大小是_______; 答案60度解析28．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 在A 上,且AM=31AB,点P 在平面ABCD 上,且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy 中,动点P 的轨迹方程是 .答案91322-=x y 解析思路分析过P 点作PQ ⊥AD 于Q,再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H,连PH,利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设Px,y,∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x 2 +1- x 13-2+y 2 =1,化简得91322-=x y . 命题分析以空间图形为载体,考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法.A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 x y M P。

专题6 立体几何中异面直线的夹角几何法(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

1专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法（解析版）异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。

,90。

].1．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，直线PA 与直线BC 所成角大小为60°．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求异面直线PC 与BD 所成角大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2arccos 4.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AC ⊥面PBD ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，则//OE PC ，得到EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD AC ⊥，又∵BD AC ⊥，PD BD D ⋂=，PD ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，∴AC ⊥面PBD ， ∵AC ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，ED ，则//OE PC ， ∴EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，∵60PAD ∠=︒，∴23PD =2ED =，2又4PC =，∴2OE =，2OD =，∴2222cos 24222EO OD ED EOD EO OD +-∠===⋅⋅⋅，∴直线PB 与直线AC 所成角大小为2arccos ．【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.2．空间四边形ABCD 中，AB CD =，点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点.（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，求直线AB 与CD 所成角的大小；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ，求直线AB 与MN 所成角的大小.【答案】（1）60︒；（2）2θ或1802θ︒-.【分析】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，且PMN 为等腰三角形；（1）根据条件，得到60PMN ∠=︒，求出MPN ∠，即可得出结果；（2）根据条件，得到MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，进而可求出结果.【详解】3取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，因为点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点，所以//PM AB ，//PN CD ，且12PM AB =，12PN CD =，则MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，又AB CD =，所以PM PN =，即PMN 为等腰三角形；（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，即60PMN ∠=︒，则18026060MPN ∠=︒-⨯︒=︒，所以直线AB 与CD 所成角的大小为60︒；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ，则MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，若MPN θ∠=，则18018022MPNPMN θ︒-∠︒-∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-；若180MPN θ∠=︒-，则18022MPNPMN θ︒-∠∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为2θ.综上，直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-或2θ.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型. 3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，AB =4，AD =2，1215BB =，求异面直线1B D 与MN 所成角的余弦值.425【分析】如图，连接1B C ，则1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，然后在直角三角形1DB C 中求解即可【详解】解：如图，连接1B C ，因为M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，所以1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，因为长方体1111ABCD A B C D -中，AB =4，AD =2，1215BB = 所以2221116441545DB AB AD BB =++=++⨯=，221141548B C BB BC =+=⨯+=，DC ⊥平面11BB C C ，所以1DC B C ⊥，所以11125cos 545B C DB C DB ∠===，所以异面直线1B D 与MN 255【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1A A 、AB 的中点.（1）求证：1//MN D C ；（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）易知1//MN A B ，11//D C A B ，根据平行的传递性得出结论;（2）由（1）的平行知异面直线MN 与1B C 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在三角形中6求得此角即可．【详解】（1）连接1A D ，∵M 、N 分别为1A A 、AB 的中点，∴1//MN A B ,正方体中，11A D 与BC 平行且相等，∴11A BCD 是平行四边形，∴11//D C A B ，所以1//MN D C ，（2）由（1）知异面直线MN 与1BC 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在立方体中，1111B C CD D B ==11B CD ∴∆是等边三角形，∴11B CD ∠60=︒，∴异面直线MN 与1BC 所成成角是60°．【点睛】本题考查证明线线平行以及求异面直线所成的角，属于基础题型.5．如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=.（1）BC 和A C ''所成的角是多少度？（2）AA '和BC '所成的角是多少度？7 【答案】（1）45；（2）60【分析】（1）根据//BC B C ''可知所求角为A C B '''∠，由Rt A B C '''中的长度关系可求得结果；（2）根据//AA BB ''可知所求角为B BC ''∠，由Rt BB C ''△中的长度关系可求得结果.【详解】（1）连接A C ''，//BC B C ''，∴异面直线BC 和A C ''所成角即为直线B C ''和A C ''所成角，即A C B '''∠，在Rt A B C '''中，23A B AB ''==，23B C AD ''==，tan 1A C B '''∴∠=，45A C B '''∴∠=，即异面直线BC 和A C ''所成角为45；（2）连接BC '，//AA BB ''，∴异面直线AA '和BC '所成角即为直线BB '和BC '所成角，即B BC ''∠，在Rt BB C ''△中，23B C AD ''==，2BB AA ''==，tan 3B BC ''∴∠=60B BC ''∴∠=，即异面直线AA '和BC '所成角为60.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.6．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体．（1）求直线DA 1与BC 所成角；8（2）求直线D 1A 与BA 1所成角；（3）求直线BD 1和AC 所成角．【答案】（1）4π（2）3π （3）2π【分析】（1）由//AD BC 得1DAD ∠是直线1DA 与BC 所成角，求出1DAD ∠即可得解；（2）由11//AD C B 得11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角,求出11C BA ∠即可得解；（3）证明AC ⊥平面1BDD 后即可得1AC BD ⊥，即可得解.【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，∵//AD BC ，∴1ADA ∠是直线1DA 与BC 所成角，∵1AD AA ＝，1AD AA ⊥，∴14ADA π∠=，∴直线1DA 与BC 所成角为4π．（2）∵11//AD C B ，∴11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角，∵1111BA AC BC ==，∴ 113C BA π∠=，∴直线1D A 与1BA 所成角为3π．（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1DD AC ⊥，∵1DD BD D =，∴AC ⊥平面1BDD ，∵1BD ⊂平面1BDD ，∴1AC BD ⊥，∴直线1BD 和AC 所成角为2π．9【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.7．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成角的大小.【答案】45°.【分析】取BD 的中点G ，连接,EG FG ，根据题意可得GFE ∠（或其补角）即为EF 与AB 所成角，由EG GF =，AB CD ⊥，可得EFG ∆为等腰直角三角形，进而可求解.【详解】如图所示，取BD 的中点G ，连接,EG FG .∵,E F 分别为,BC AD 的中点，且,//,//AB CD EG CD GF AB =∴，且11,22EG CD GF AB ==，即EG GF =， GFE （或其补角）即为EF 与AB 所成角.,,90AB CD EG GF EGF ︒⊥∴⊥∴∠=，EFG ∴∆为等腰直角三角形，45GFE ︒∴∠=，即EF 与AB 所成角的大小为45°.10【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解得的关键是找出与异面直线所成角相等的角，属于基础题. 8．正三棱锥S ABC -的侧棱长与底面边长都为a ,,E F 分别是,SC AB 的中点,求直线EF 和SA 所成的角.【答案】45°【分析】取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF ，于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角)，在EFG ∆中求解.【详解】解析如图,取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF.在SAB ∆中,,F G 分别是AB ,SB 的中点,//FG SA ∴,且12FG SA =.于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角).11在SAB 中,SA SB a ==,12AF FB a ==, SF AB ∴⊥,且3SF a =.同理可得CF AB ⊥,且3CF =. 在SFC 中,32SF CF a ==,SE EC =, FE SC ∴⊥,且2222FE SF SE a =-=. 在SAB 中,FG 是中位线,122a FG SA ==. 在SBC 中,GE 是中位线,122a GE BC ∴==. 在EGF △中,22222a FG GE FE +==,EGF ∴是以FGE ∠为直角的等腰直角三角形,45EFG ︒∴∠=.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°. 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力，和基本的证明方法，属于基础题型. 9．在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .12若AC DE ⊥,且3AC BC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小. 【答案】（2）60°. 【分析】由条件可知ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角，再求解. 【详解】解析 (2)因为PN 为ABE ∆的中位线, 所以//PN AB .又//BC DE ,所以ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角. 又AC DE ⊥,所以AC BC ⊥. 在Rt ACB △中,3tan 3AC BCABC BC ∠===所以60ABC ︒∠=. 所以异面直线DE 与PN 成的角为60°. 【点睛】本题考查四点共面和异面直线所成的角，意在考查推理，证明能力，属于基础题型. 10．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA 与,AC AB 所成的角均为60°,90BAC ︒∠=,且1AB AC AA ==,求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.13【答案】33【分析】首先利用补体，将三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -，由条件可知11//AC BD ，则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，根据三边关系求11cos A BD ∠. 【详解】解析如图所示,把三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -,连接111,,BD A D AD ,由四棱柱的性质知11//BD AC ,则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角. 设AB a ,1AA 与AC ,AB 所成的角均为60°,且1AB AC AA ==,1A B a ∴=,1112cos303BD AC AA a︒==⋅=.14又90BAC ︒∠=,在矩形ABDC 中,2AD a =,112A D a ∴=,2221111A D A B BD ∴+=,1190BA D ︒∴∠=,在11Rt BA D 中,11113cos 33A B A BD BD a∠===. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 11．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB AD ==，2AA '=，求：（1）直线BC 和A C ''所成的角的大小；（2）直线AA '和BC '所成的角的大小. 【答案】（1）45°.（2）60°. 【分析】（1）确定B C A '''∠是异面直线A C ''与BC 所成的角，在Rt A B C '''中根据长度关系得到答案。

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法法一：平移法例1：在正方体ABCD-A1BC11D1中，求下列各对异面直线所成的角。

（1）AA1与BC；（2）DD1与A1B；（3）A1B与AC。

法二：中位线例2：在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB⊥CD，点M、N分别为BC、AD的中点，求直线AB与MN所成的角。

变式：在空间四边形ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，AB＝CD＝2，且MN＝AB与CD所成的角。

法三：补形法例3：如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC，求下列各对异面直线所成的角的正切值.（1）PB与AC；(2)AB与PC。

法四：空间向量法例4：在正方体ABCD-A1BC11D1中，E、F分别是BB1F 1,CD的中点，求证：AE⊥D法五：证明垂直法例5：在正方体ABCD-A1BC11D1中，E、F分别是BB1F所成的1,CD的中点，求AE与D角。

变式：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，AA1=2,AB=BC，求AE与D1C所成的角。

练习题：1．在正四面体ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，则直线AB与MN 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿。

2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角为＿＿＿＿＿＿＿3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90︒，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________________.E为AA1中点，4. 已知正四棱柱ABCD-A则异面直线BE与CD1AA1=2AB，1BC11D1中，所成的角的余弦值为________________.5.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB 的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为________________.6．如图1，P是正方形ABCD所在平面外一点，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成的角的度数为________________.7。

两异面直线所成的角题目解法大全

两异面直线所成的角题目解法大全（配有高考真题练习题）异面直线所成角的求法例一、已知正四棱锥P—ABCD侧棱长与底面边长相等，E、F分别为PC、PD的中点，求异面直线BE与CF所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE不动，在面PDC内过点E平移CF；法二、CF不动，过F平移EB，其中是以平行四边形BEFH为依托；法三、利用空间向量知识来求解.解法一：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC内过E作EG平行于∠或其补角为BE与CF所成角. BD=22,又PB=PD=2, CF，交PD于G，连结BG. 则BEG所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG∆中,cos BEG ∠=EG BE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FH CF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61.解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则= (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，求异面直线11CC BA 和所成的角。

例2．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角。

立体几何_异面直线成角求法

构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（）A ．515arccosB ．4πC ．510arccos D ．2π解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF＝2222221112B GG FB FB G G F+-+-=∙＝0，故∠B 1G F ＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．图1BCE图21A 1B 1C 1D ACDE FG解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ．∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°，又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ．即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，P A ⊥平面A B C，90A C B ∠=︒且P A A C B C a===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''D B C A D B C P -，P B 与A C 所成的角的大小即此正方体主对角线P B 与棱B D 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即ta n P D D B A D B∠==．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''D B C A D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A ）不平行的直线（B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线（D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是（）（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线（B ）和两条异面直线都垂直的直线（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面1D 1B 1C PDBCAPBCAA B C SE F ABC D D 1 C 1B 1 A 1 M N N MFE DCB A J IHG F ED C B A B A C DA F EPC BA 直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是（）（A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为（）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）（A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）（A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（）（A ）平行（B ）平行和异面（C ）平行和相交（D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则（）（A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形（B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形（D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为．三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点．NMD CBA D CB A P QD 1C 1B 1A 1（1）求证：EF 与PC 是异面直线；（2）EF 与PC 所成的角；（3）线段EF 的长．17．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ；（2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．18．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心．（1）求线段PQ 的长；（2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．§1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离． 2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性． 5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想； ②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成； ④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。

异面直线所成的二面角的求法

一、空间角说明：以下涉及的点均为所属线或面上的任意点。

在可以建立空间坐标系的前提下，以下的点的坐标可求出。

1．异面直线所成的角点A ，B 直线a,C ，D 直线b 。

构成向量。

∈∈CD AB ,所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与><CD AB CDAB CD AB ,,cos b(CD)所成的角。

例1．如图，已知直棱柱ABC-A 1B 1C 1，在ABC 中，∆CA=CB=1，，棱AA 1=2，求异面直线90=∠BCA BA 1，CB 1所成的角。

2．线面所成的角与的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面所成的角，所以AP n αθAP与的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面所成的角的正弦值。

n α><=∴n AP ,cos arcsin θ例2．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为C 1D 1、B 1C 1的中点，(1)求证：E 、F 、B 、D 共面；(2)求点A 1D 与平面EFBD 所成的角。

3．二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。

，则二面βα--l αm βn θ>=<n m ,ＱＱＱD ＱＱＱＱ1Ｑ11EF角的平面角为或π。

βα--l θθ-所以，(不要选择起点在棱上)，nm n m <,cos 当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当><n m ,两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。

><n m ,例2．如图，平面ABCD ，ADE 是等边三角形，ABCD ∆是矩形，F 是AB 的中点，G 是AD 的中点，EC 与平面ABCD 成300的角。

(1)求证：EG 平面ABCD ；⊥(2)若AD=2，求二面角E-FG-G 的度数；(3)当AD 的长是多少时，点D 到平面EFG 的距离为2，请说明理由。

二、1．点到面的距离点P 北京佳尚财税http://101.1.28.35/到面的距离可以看成在平面的法向量的方向上αd AP αn 的射影的长度。

异面直线所成的角和线面角(文)

异面直线所成的角和线面角平移法：①体内平移———中位线平移法1、如图各棱都相等的三棱锥S—ABC，E,F分别为SC,AB的中点，求1）异面直线EF与SA所成的角（）A450 B 300 C 60 0 D 9002、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，∠PBD=60°. （1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.3、如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值4、如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，758D(第9题)CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；BE体内平移———平行四边形平移法5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD求AE与D1F所成的角。

1A6、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，求直线DAM与CN所成角的余弦值AC1 1C②体外补形平移：7、如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90︒且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体DBCA-D'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即D (第6题)PACPDtan∠DBA=DBD11B AC8、如图ABCD，ABEF是边长为a的正方形，直线FA垂直平面ABEF的所有直线，求异面直线AC和BF所成的角练习：.如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b(a>b),AA1=c，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值。

异面直线所成角的计算（向量法）（含答案）

异⾯直线所成⾓的计算（向量法）（含答案）异⾯直线所成⾓的计算（向量法）⼀、单选题(共10道，每道10分)1.若向量，，夹⾓的余弦值为，则等于( )A.1B.-1C. D.2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓2.如图，在正⽅体中，是的中点，则异⾯直线与所成⾓的余弦值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：3.如图，长⽅体中，，，则异⾯直线和所成的⾓的余弦值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC=90°，，，，则直线与所成的⾓的余弦值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓5.如图，在底⾯边长为a的正⽅形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平⾯ABCD，且PA=a．若M为PC中点，则直线AM与CD所成⾓的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓6.（上接第5题）若点M为PD中点，则直线CM与PB所成⾓的⼤⼩为( )A.60°B.45°C.30°D.90°答案：C解题思路：7.如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=AB=，点M为PA中点，则直线BM与PD所成⾓的正弦值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓8.（上接第7题）直线BM与PC所成⾓的余弦值是( )C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓9.如图，将正⽅形沿对⾓线折起，使平⾯平⾯，是中点，则与所成⾓的正切值为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓10.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底⾯三⾓形的边长为1，则直线与所成的⾓为( )A.30°B.60°C.45°D.90°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓。

异面直线的夹角-线面角(含答案)

异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。

2022版数学人教A版必修二基础训练-专题强化练-2-异面直线所成角的求法-含解析

专题强化练2异面直线所成角的求法一、选择题1.(2021江西宜春高二月考,)已知一个正方体的展开图如图所示,其中A,B为所在棱的中点,C,D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中,AB与CD所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°2.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A.0°<θ<60°B.0°≤θ<60°C.0°≤θ≤60°D.0°<θ≤60°二、填空题3.(2021河南洛阳高一上期末,)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,各棱长均为2,则异面直线VC与AB所成角的大小为.4.(2021河南安阳滑县一中高一上期末,)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,设过P,Q,R的截面与平面AD1,平面AB1的交线分别为l,m,则l,m所成角的大小为.三、解答题5.()在空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为30°,E,F分别是边BC和AD 的中点,求异面直线EF和AB所成的角.6.()在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.(1)求证:M,N,P,Q四点共面;(2)若AC⊥DE,且AC=√3BC,求异面直线DE与PN所成角的大小.7.(2021江苏扬州中学高三模拟,)如图,四棱锥P-ABCD的四条侧棱长相等,底面ABCD为正方形,M 为PB的中点.若PA=AB,求异面直线PD与CM所成角的正弦值.专题强化练2异面直线所成角的求法一、选择题1.C将展开图还原为正方体(如图),其中EF,FG,EG分别为所在面的对角线.因为A,B分别为EC,CF的中点,所以AB∥EF,易知CD∥EG,所以∠FEG(或其补角)为AB与CD所成的角.又△EFG为等边三角形,所以∠FEG=60°,即AB与CD所成角的大小为60°.故选C.2.D如图,连接CD1,AC,易知CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.二、填空题3.答案60°解析因为底面ABCD是正方形,所以AB∥CD,所以∠VCD(或其补角)即为异面直线VC与AB所成的角.又因为各棱长均为2,所以三角形VCD为正三角形,所以∠VCD=60°.所以异面直线VC与AB所成角的大小为60°.4.答案60°解析如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长,与CB的延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,延长PQ,交CD的延长线于N,连接NG交DD1于F,连接QF,则l,m所成的角即EM,EP所成的角,设为θ,易知EM=√2,EP=√2,PM=√2,所以θ=60°.三、解答题5.解析如图,设G是AC的中点,连接EG,GF.∵E,F分别是BC,AD的中点,∴EG∥AB,FG∥CD,∴∠EGF(或其补角)是AB与CD所成的角,∠GEF(或其补角)是EF和AB所成的角.∵AB=CD,∴EG=GF.当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.∴异面直线EF和AB所成的角为15°或75°.6.解析(1)证明:因为CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,所以PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线,所以PQ∥DE,MN∥DE,所以PQ∥MN,所以M,N,P,Q四点共面.(2)因为PN为△ABE的中位线,所以PN∥AB.又BC∥DE,所以∠ABC(或其补角)即为异面直线DE与PN所成的角.又AC⊥DE,所以AC⊥BC.在Rt △ABC 中,tan ∠ABC =AC BC =√3BC BC=√3,所以∠ABC =60°. 所以异面直线DE 与PN 所成的角为60°. 7.解析连接AC ,BD ,交于O ,连接OM , ∵底面ABCD 为正方形,∴O 为BD 的中点, 又M 为PB 的中点,∴PD ∥OM ,故∠OMC (或其补角)是异面直线PD 与CM 所成的角. 令AB =a (a >0),则OC =√22a ,MC =√32a ,OM =a 2,∴OC 2+OM 2=MC 2,∴△MOC 为直角三角形,∴sin∠OMC =OC MC =√22a √32a =√63,故异面直线PD 与CM 所成角的正弦值为√63.。

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异面直线所成的角的两种求法
初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。

难在何处？不会作！下面介绍两种求法
一．传统求法--------找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。

平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4
2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.
解由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.
∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2
1
AB ＝62， HE ＝
2
1
，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123.
∴ sin∠EHG＝
2
2
,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°
注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2
2
AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。

（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。

因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=
21 BC ，FG∥AD，且FG=
2
1
AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，
即∠EGF 为所求。

由BC=AD 知EG=GF=2
1
AD ，又EF=AD ，由余弦定
理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两
条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。

通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

H
G
F
E
D
C
B A
A
B
C
G
F E
D
例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。

求：AM 与CN 所成的角的余弦值；
解：(1)连接DM,过N 作NE ∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE ∥AM 省 ∴NE=
2
1
AM 且E 为MD 的中点。

设正四面体的棱长为1，则NC=
21·23= 43且ME=2
1
MD=43
在Rt △MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=
163+41=16
7 ∴cos ∠CNE=
324
3
432167)43()43(
2222
22-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NE
CN CE NE CN ,
又∵∠CNE ∈(0,
2
π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为
3
2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有
通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。

最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

例4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，
EF=7，
3
1
==EC BE FD AF 。

求异面直线AB 与CD 所成的角。

解：在BD 上取一点G ，使得
3
1
=GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD
BG
EC BE =
，故EG//CD ，并且4
1
==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且4
3
==AD DF AB FG ，故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得
cos ∠FGE=
2
1
5327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。

A B C D
E G。