轴心受压构件的计算长度系数

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在求解轴心受压构件的弹性屈曲荷载时，均采用了平衡法，但是有许多轴心受压构
件用平衡法无法直接求解，如沿构件的轴线压力有变化和沿轴线截面尺寸有变化等， 将遇到很难求解的变系数微分方程，这时可采用能量法或其他近似方法求解。
谢谢
a=a/l μ
悬伸轴心受压构件的计算长度系数
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 1.0 1.0 1.11 1.24 1.40 1.56 1.74 1.93 2.16 2.31 2.50 2.70
表中μ值还可用简便的实用计算公式确定


11.2 1.4 1 0.4 2
kl (tanka +tankl)－tanka tankl= 0
kl l P l 2EI / (l)2
EI
EI

而ka＝kαl＝απ/μ ，这样屈曲方程为
(tan tan ) tan tan 0



以不同的α 值代入式后，即可得到相应的计算长度系数 μ ，见表2.2
3、Pcr与EI、l、μ有关，同一构件，不同的方向，I不同，
μ不同，视综合情况而定；
4、端约束越强，Pcr越大，越不易失稳； 5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰，
这样，各方向有较一致的约束；
6、Pcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
构件截面的平均应力称为屈曲应力：
cr
屈曲应力超过屈服强度的在图中用虚线表示，f y=235N/mm2 计算长度 系数的理论值可以写为：
cr
pE Pcr
2EI
l 2 Pcr
项次 支承条件
1 两端铰接
2 两端固定
3
上端铰接 下端固定
4
上端平移 但不转动 下端固定
5
上端自由 下端固定
6
上端平移 但不转动 下端铰接
变形曲线 l0=μl

pcr A

2E (l / i)2
2E 2
式中：A为截面积；λ为长细比；而i为回转半径， i I
A
屈曲应力只与长细比有关。
σcr/(N/mm2)
250
fy=235N/mm2
P
200
150
欧拉曲线
100
50
P
λ
0
20
40
60
80
100 120 140 150 180
轴心受压构件的屈曲应力
实例 应用
理论μ值
1.0
0.5
0.7
1.0
2.0
2.0
设计μ值
1.0
0.65
0.8
1.2
2.1
2.0
轴心受压构件计算长度计算系数
悬伸轴心受压构件
如图 (a)所示悬伸轴心受压构件在图示支撑架平面内的计算长度系数。AB 段的长 度为l ，BC 段的长度为a，而a＝αl ;顶端的水平杆对柱无约束。图(b)即为所研究 的悬伸轴心受压构件ABC ，它的计算简图如图 (c) 所示，构件弯曲后顶端的挠度 为v。
P C a
P P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
l A (a)
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
当０＜x＜l时，平衡方程为: EIy″ +Py+Pvx/l＝0
P
令： k 2 P
C
EI
a
则： y″ +ky+kvx/l＝０
其通解为: l

y A1 sin kx B1 cos kx l x
通解为： y A2 sin kx B2 cos kx
根据边界条件y(l )=0和y(l＋a)＝－v，可得到
A2


cos k(l sin ka
a)
v
B2

sin k(l sin ka
a)
v
B 点的转角为 y′1(l )＝kv/tanka
由B 点的变形协调条件y′1(l)＝y′2(l)得到悬伸构件的屈曲方程为
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A
(a)
根据边界条件y(0)=0 和 M(l)=-EIy″(l)＝Pv，可以得到 A1＝v/sinkl ，B1＝0，这样支座处B 点的转角为：
y′1 (l )＝(kl/tankl－１)v/l
P
P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
当x＞l时，平衡方程为: EIy″ ＋Py ＋Pv ＝０ y″＋k2y ＋k2v ＝０
对于均匀受压的等截面直杆，此系数取决于构件两端的约束条件。这样一 来，具有各种约束条件的轴心受压构件的屈曲荷载转化为欧拉荷载的通式是：
Pcr

2EI (l)2
讨论：
2 EI Pcr (l )2
1、Pcr与E、I、l、μ有关，即与材料及结构的形式均有关；
2、Pcr与EI成正比，不同的方向EI不一样，压杆要求EI 在 各方向上尽可能相差不大，且其数值尽可能大；
轴心受压构件的计算长度系数
前面已经得到了两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载：
Pcr

2EI
l2
为了钢结构设计应用上的方便，可以把各种约束条件构件的Pcr值换算成相 当于两端铰接的轴心受压构件屈曲荷载的形式，其方法是把端部有约束的构件 用等效长度为 l0的构件来代替， ，而计算长度l0 与构件实际的几何长度之间的 关系是l0＝μ l ，这里的系数μ称为计算长度系数。