离散变量优化问题.
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最优值 Zk Zi 0；
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 Z k , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
当所有的子问题均被关闭或剪枝后
目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
和
x j [bj ] 1
将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
（2）定界
以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。 x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点； x(3)是离散最优点。
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
设已找到下界 Zi0 ：
讨论子问题 Lk :
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法， 逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z * 。
z z* z
三个基本操作：
（1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其 值为 bj ,以 [b j ] 表示小于 bj 的最大整数。构造两个约束条件
x j [bj ]
max Z x1 5 x2 x1 x2 5 x 6 x 1 2 ( IP 2) x1 x1 2 30 4 2
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2 。
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2 。
max Z x1 5 x2 x1 x2 5 x 6 x 1 2 ( IP1) x1 x1 2 30 4 1
（3）比较与剪枝
各分支的最优目标函数中若有小于 z ，则剪掉这枝；若大于 z 且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题 L0 : ( IP)无最优解 结束 1 、L0无最优解， 则 2、最优解 X *0 ( x *01 ，x *02 ,, x *on ),最优值z0 (1) X *0 为整数解 ，则X *0 为 ( IP)的最优解 结束 (2) X *0 中至少有一个是分数， 设x *01 是分数 ：分枝
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。 以整型优化问题为例： max Z x1 5 x2
x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0且全为整数
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。
例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
（0） 即 Z 也是离散问题目标函数的上限。
松弛问题最优解：
x* (x1 , x 2 ) (18 / 11, 40 / 11) Z (0) 218 / 11 19.8
对于x1＝ 18 / 11 1.64， 取值x1 1，x1 2 对于x2 40 / 11 3.64， 取值x2 3，x2 4
求出松弛问题最优解：
max Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0
x* (x1 , x 2 ) (18 / 11, 40 / 11) Z (0) 218 / 11 19.8
max Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0且全为整数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为 LP： max Z x1 5 x2
x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0
松弛问题：
max Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0
分枝定界法基本思想：
设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数 必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解 的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 z 。
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。
直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。 减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。
两种基本方法：
（隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 Z k , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
当所有的子问题均被关闭或剪枝后
目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
和
x j [bj ] 1
将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
（2）定界
以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。 x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点； x(3)是离散最优点。
子问题 L1 : 剪枝 1 、L1无最优解， 2、最优解 X *1 ( x *11 ，x *12 ,, x *1n ), 最优值 z1 (1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
子问题 L2 :
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
设已找到下界 Zi0 ：
讨论子问题 Lk :
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法， 逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z * 。
z z* z
三个基本操作：
（1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其 值为 bj ,以 [b j ] 表示小于 bj 的最大整数。构造两个约束条件
x j [bj ]
max Z x1 5 x2 x1 x2 5 x 6 x 1 2 ( IP 2) x1 x1 2 30 4 2
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2 。
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2 。
max Z x1 5 x2 x1 x2 5 x 6 x 1 2 ( IP1) x1 x1 2 30 4 1
（3）比较与剪枝
各分支的最优目标函数中若有小于 z ，则剪掉这枝；若大于 z 且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题 L0 : ( IP)无最优解 结束 1 、L0无最优解， 则 2、最优解 X *0 ( x *01 ，x *02 ,, x *on ),最优值z0 (1) X *0 为整数解 ，则X *0 为 ( IP)的最优解 结束 (2) X *0 中至少有一个是分数， 设x *01 是分数 ：分枝
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。 以整型优化问题为例： max Z x1 5 x2
x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0且全为整数
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。
例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
（0） 即 Z 也是离散问题目标函数的上限。
松弛问题最优解：
x* (x1 , x 2 ) (18 / 11, 40 / 11) Z (0) 218 / 11 19.8
对于x1＝ 18 / 11 1.64， 取值x1 1，x1 2 对于x2 40 / 11 3.64， 取值x2 3，x2 4
求出松弛问题最优解：
max Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0
x* (x1 , x 2 ) (18 / 11, 40 / 11) Z (0) 218 / 11 19.8
max Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0且全为整数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为 LP： max Z x1 5 x2
x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0
松弛问题：
max Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 1 2 s.t. 4 x1 x1 , x2 0
分枝定界法基本思想：
设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数 必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解 的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 z 。
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。
直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。 减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。
两种基本方法：
（隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。