二、交错级数及其审敛法

例3.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例4. 判别级数 ln1
n1
Fra Baidu bibliotek
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
(3) 当 l =∞
是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
0l
un 发散
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 收敛
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S Sn , 则所求误差为
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
1 (n 1)n1
1
1
1 n1
1 n (n 1)n
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且
(n=1,2,3…)
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
例1.
讨论
p
级数
1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
en
lim
n
1 e
n
n
12
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
Leibniz判别法:
un un1 0
lim
n
un
0
条件收敛
则交错级数 (1)nun收敛
n1
思考与练习
设正项级数 un 收敛, 能否推出 un2 收敛 ?
n1
n1
提示: lim un2 n un
lim
n
un
0
由比较判敛法可知
u
2 n
收敛
.
n1
注意: 反之不成立. 例如,
1
n 1 n 2
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛 , 令
vn
1 2
(
un
un
)
( n 1, 2 , )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1
un , 2 vn 收敛
n1
n1
un 也收敛
n1
例7. 证明下列级数绝对收敛 :
(1) n1sinn4n ;
(2)
(1)n
n1
n2 en
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim un1 n un
lim
n
(n1)
1 np
p
1
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数,
且
lim n
n
un
,
则
为正项级
(3)
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
收敛
2)
1
2 1
2!
3 1
3!
4
1 4!
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! n1!1n01n!n
1 1n 1 10n 收1n敛
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!