高中数学抛物线焦点弦结论探究

抛物线焦点弦结论探究

授课 蒲海凤 点评 杜永来

一、课堂实录

[引言] 抛物线的焦点弦是抛物线研究的一个重要方面，它具有许多优美的结论，这节课我们将由课本的一道习题出发，通过5次观察联想，多次的猜想、验证、证明，探索出抛物线的一类结论，结论固然重要，但所用的探究过程本身给我们的启发更为深刻。

基本探究

[投影]〈引例〉：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点Ｆ的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B

向准线作垂线，垂足分别为1A 、2A ，求证：︒=∠901

1FB A

师：这是课本中的一道习题➢高二上册P 133复习参考题B 组第2题，同学们应该很快给出证明思路。 生1：要证明11FB A ∠是直角，因为F A 1和F B 1斜率都存在，只需证明斜率相乘得-1即可，设),(),,(2211y x B y x A ，),,2(),,2(2111y p B y p A --

可求得22121.p y y k k =，其中21y y 由直线AB

和抛物线方程联立可求得。 师：好，思路非常清晰。

生2：由抛物线定义知AF AA =1

BF BB =1则11AFA F AA =∠

11BFB F BB ∠=∠，又FO A F AA 11∠=∠

FO B F BB 11∠=∠，则

︒∠==∠+∠90211AFB FO A FO B

师：这位同学注意到图形中几何关系，给出了一个更为简单的证法，我们把这一结论归纳为： 结论１抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。

1．观察联想1

师：我们要从这个问题出发进行观察联想，如果观察结论你能联想到什么？

（学生思考）

生：射影定理。

师；说说看得到什么结论？

生：由︒=∠901

1FB A 知是直角三角形且11B A FK ⊥由射影定理得， 因21,y y 异号，所以221p y y -=

师：对于这个同学推出的结论我们也并不陌生，只是以前的证明方法不一样，以前我们是用什么方法得到这一结论的？

生：设出两交点坐标),(),,(2211y x B y x A 直线A B 方程与抛物线方程联立消去x 或y 得到一个一元二次方程，利用韦达定理得到两根之积，证得其中一个结论，再由两点在直线上得另一结论。

师；这两种方法证得

➢高二上册P 1１９第７题的结论将其概括为

结论2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数

42p 和2p -。

2．观察联想2 师：在回到结论1，注意到直角三角形与圆有着密切的关系，由结论1发现点F 在以为11B A 为直径的圆上，观察图形特征不难发现直线11,BB AA 是圆1M 的切线，那焦点弦AB 与圆又是什么位置关系呢？

[投影]

生：好像相切…

师：同学们猜测是相切的关系，我们可以考虑特殊情况，当焦点弦变为通径时很明显结论是正确的，证实了我们的猜想，那么一般的焦点弦该如何证明呢？同学们可以互相讨论一下。

生1：既然点F 在圆上，只需证明AB F M ⊥1，设

K

B K A FK 112•=212y y p ⋅=4

4)(222

1212p p y y x x ==

所以，以11B A 为直径的圆与A B 相切于点F 。

生2：我是用几何的方法，由抛物线定义AF AA =1

知11AFA F AA ∠=∠，又1

111FA M F A M ∠=∠所以 ο90111=∠=∠M AA FA M

师：同学们观察的非常好，这两个方法共同证明了以下的结论

结论3以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

3．观察联想3

师；抛物线和圆是解析几何中既重要又活泼的两个元素，我们应该让它们成为亲密的合作伙伴。由于准线与焦点弦的伴随性，受联想2的启发，如果以焦点弦为直径画圆，观察该圆与准线又有怎样的位置关系？

[投影]

生：相切！

则该圆与准线相切于点1M 。

师：我们不但证明了该圆与准线相切，而且证明了切点即为11B A 的中点，将其归纳为

)2

2),2(),,2(2112111y y P M y P B y P A +---，（则p y y p p y y k FM 22

2221211+-=--+=212221212121222y y p p

y p y y y x x y y k AB +=--=--=AB

FM k k FM AB ⊥-=⋅，即111

111,,BB AA BF AF AB BB BF AA AF +=+===而AB BB AA MM 2

1)(21111=+=

结论４ 以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。

4．观察联想4

[投影]

师；由上一结论，当焦点弦变为抛物线通径时不仅有BK AK ⊥，而且有ο45=∠=∠BKF AKF ，再一次把通径淡化为一般的焦点弦时，画出几个图形观察A K 与B K 的垂直和平分的关系是否还能保持不变？

（学生画图纠正抛物线作图的错误）

师：有的同学们研究不出结论是因为图形画的不准确，我们应该注意课本中给出的做抛物线简图的方法，力求将图做的准确，便于我们发现结论。

生1：我通过作图发现垂直关系不一定成立，但平分关系似乎保持不变。

师：好！这位同学给了我们一个猜想，下面同学们的任务就是证明这个猜想。

（学生讨论思路）

生2：根据这两条直线的位置关系，可以证明它们的斜率互为相反数。

师：思路非常清晰，找同学们上来板演，其它同学一起做。

[板演过程]

结论５ 抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。 5．观察联想5

),2(),,2(222121y p

y B y p y A 证明：设2

2121222p y py p p y y

k AK +=+=则22222p y py k BK +=

同理：))(())((222222122121p y p y p y y y y p k k BK

AK ++++=+