第6讲 二次函数实际应用.尖子班

1．顶点为(－5，－1)，且开口方向，形状与函数y ＝－3

1x 2的图像相同的抛物线是（）A ．y ＝31(x －5)2＋1B ．y ＝－31x 2－5C ．y ＝－31(x ＋5)2－1D ．y ＝3

1(x ＋5)2－12．一元二次方程x 2－3x －9＝0根的情况是（

）A ．有两个相等实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等实数根D

．无法确定

3.(2014·十堰)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ，若DG ＝3，EC ＝1，则DE 的长为（

）A ．3

2B ．10C ．22D ．54．已知x 1、x 2是方程x 2－(2k －1)x ＋(k 2＋3k ＋5)＝0的两个实数根，且x 12＋x 22＝39，则k 的值为

________

5．如图，EF 是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD ，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60米2，则AB 的长为_______

米6．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，△ABC 是等边三角形，．∠ADC ＝30°，AD ＝3，BD ＝5，则四边形ABCD 的面积为

_______

06二次函数——实际应用

模块一课前检测

一．球类、喷泉、跳水问题

这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式：

1.球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。篮球问题会考察“球是否入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。

2.跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。

3.喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。

二．隧道、过桥问题

隧道、过桥问题通常采用的是y=ax 2+c 的形式，通常考察的是车或者船是否能够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。注意抛物线的对称性，及该问题考察的是单隧道问题或者双隧道问题。

【例1】（1）如图是排球比赛场景的示意图，AB 是球网，长度为10米，高AC 为2.4米，二传手在距边界C 处0.5米的E 点传球，球（看成一个点）从点M 处沿如图所示的抛物线在网前飞行，点M 的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．①以点C 为坐标原点，建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式；

②甲球员在距二传手2米的F 处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？

③若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点C 多远的地方起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：5=2.24，30=5.48

）

知识点睛

典型例题

模块二二次函数应用与实际建模

（2）许多桥梁都采用抛物线型设计．小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如图示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点．左右两条抛物线关于y 轴对称，M 、N 分别是其顶点．经过测算，中间抛物线的解析式为：y=﹣361x 2+16，并且BD=2

1CD ．①求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长；

②求桥上三条钢粱的总跨度AB 的长；

③若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式．

（3）在2014年仁川亚运会上中国队包揽了跳水所有项目的金牌．过去十一届亚运会的跳水金牌也全部归于中国跳水队！优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行一次跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 高BC 为3米，为安全和空中姿势优美，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．

①求这条抛物线的解析式；

②图中CE=4.5米，CF=5.5米，若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到训练要求，试通过计算说明这次跳水是否能达到要求．

【巩固】（1）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．

①在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）

②守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

（2）如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：

①求水面的宽度CD为多少米？

②当水面的宽度到CD时，有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？

模块三二次函数应用与几何相关

知识点睛

一．面积问题

1.面积问题与面积计算公式相关，无需建模，可以直接得到解析式；

2.面积问题需要注意自变量取值范围，取值范围需要计算；

3.配成顶点式求最大值。

二．几何动点问题

1.动点问题用已设为x的线段尽可能表示出其他的线段，从而解决问题。

2.动点问题需要注意自变量取值范围，取值范围需要计算；

典型例题

【例2】（1）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．

①用含x的式子表示横向甬道的面积；

②当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？