浙江省2013年10月高等教育自学考试近世代数试题

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浙江省2013年10月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

1.下列集合关于相应的运算构成群的是

A.非零有理数集关于数的乘法运算

B.整数集关于数的减法运算

C．自然数集关于数的加法运算 D.非零有理数集关于数的除法运算

2．剩余类环Z6的理想有______个。

A.3

B.4

C.5

D.6

3．下列定义的关系R是等价关系的是

A.在整数集中，aRb当且仅当a－b>0

B．在整数集中，aRb当且仅当a－b≥0

C．在整数集中，aRb当且仅当a|b

D．在整数集中，aRb当且仅当a=b

4．设H={(1),(12)}是3次对称群S3的子群，则H的左陪集有

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

5．在剩余类加群Z12中元[3]的阶是

A.2

B.3

C.4

D.5

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

6．设H是群G的一个子群，则H是群G的一个不变子群当且仅当H满足：__________。

7．在4次对称群S4中，(123)(1234)=__________。

8．2在有理数域Q上的最小多项式是__________。

9．4次对称群S4含有__________元素。

10．剩余类环Z8的所有零因子是__________。

11．一个有限群的元素的个数叫做这个群的__________。

12．设R是环，R中非零元a叫做R的一个左零因子，如果条件__________成立。

13．在整数环Z中，元素35与14的最大公因子是__________。

14．任何一个有限群都与一个__________群同构。

15．剩余类环Z12的元[4]生成主理想([4])=__________.

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

16．设Z7是模7的剩余类环，在Z7［x］中计算下面的乘积：

(［3］x3+［5］x－［4］)(［4］x2－x+［3］)

17．求剩余类加群Z8的所有生成元和所有子群。

18．设R+={x|x>0且x是实数}，R={所有实数}。找一个R+到R的一一映射和一个R+到R的单映射但不是满映射。

四、证明题（本大题共3小题，第19小题9分，第20，21小题各8分，共25分）

19．在整数集Z中，规定运算“ ”如下：对任意的a,b∈Z，

a b=a+b-2

证明：(Z, )构成群。

20．证明：环R的任意两个理想I,J的交I∩J仍是R的理想。

21．设G=(a),G=(b)是两个有限循环群，G的阶是n，G的阶是m，证明：G与G同态，当且仅当m|n。