量子力学 一维无限深势阱

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§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)

重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解

难点：对结果的理解

实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。

一、写出本征问题 势场为：⎩

⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 2

2

2ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dx

d 2()III (II )III (II 022

2ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。

波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)

二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h

−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 2

2

2ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <

(5)

５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022

2ψ=ψ+μ−h 的解为:

x 'x

'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)

x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：

x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥

x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤

又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)

E U (

2'h

于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i x

i I Be Ae )x (αα−+=ψ

则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0

Be Ae a i a i a

i a i (9)

于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i a

i a

i =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π

=α，,....2,1,0n ±±= (10)

将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i a

i ，得：0Be Ae 2

/in 2/in =+ππ−

即:B )1(A 1n +−=

代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：

５７ ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)

其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；

,...2,1n −−=不给出新的解。

而0)x ()x (III II =ψ=ψ 则利用归一化条件

∫+∞

∞−=ψ1dx 2n 得：a

1D C ==。 于是体系的本征函数： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<=π<=π=ψa

x 0a x ,5,3,1n x a 2n cos a

1a x 6,4,2n x a 2n sin a 1)x (n L L (12) 又由于2E 2h

μ=α和a 2n π=α，则对应体系本征函数的本征值为: 2

2

222222n a 8n )a 2(2n E μπ=μπ=h h (,...3,2,1n =) (13) 说明：由于2

n sin x a 2n cos 2n cos x a 2n sin )a x (a 2n sin ππ+ππ=+π，则一维无限深势阱中粒子的定态波函数可表述为: ⎪⎩⎪⎨⎧≥<+π=Ψ−a x 0a x e )a x (a

2n sin a 1)t ,x (/t iE n n h (14)

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三、讨论 1.能量量子化 22

22n a

8n E μπ=h ，L ,3,2,1n = 其特征为：

(1)n 叫做主量子数，每一个可能的能量称

为一个能级，1n =称为基态，粒子处于能量最低的状态，即：0a 8E E 2

221min

≠μπ==h ，称为零点能；

(2)能量是分立的，相邻能级间距： 22

2n 1n n a

8)1n 2(E E E μπ+=−=Δ+h 所以当∞→n 时，相邻能级的相对间距：0n

2E E n n →≈Δ 即相邻能级的相对间距随量子数n 的增加而减少。当n 很大时，能级可视为连续，这是经典极限时的情况，即经典物理可以看成是量子物理中量子数∞→n 时的近似。

2.波函数n ψ及几率密度2n ψ (1)在a x >时，波函数均为零，即粒子被束缚在阱内运动。通常把在无限远处波函数为零的状态称为束缚态（仅在有限范围内运动的状态）。一般来说束缚态所属能级是分立的。

(2))t ,x (n Ψ

是阱内驻波，是两个沿相反方向传播的平面波的迭加。

５９ )]t E x a

2n (i exp[c )]t E x a 2n (i exp[c e )a x (a 2n sin a 1)t ,x (n 2n 1/t iE n n +π−+−π=+π=Ψ−h h h h h

(15) 其中1c 、2c 为两常数。

说明：利用形成驻波的条件可导出能级公式，形成驻波的条件是：波所在的空间限度等于半波的整数倍，即2

n a 2L λ==，则波矢的大小为：a

2n 2k π=λπ= 于是由De Broglie 关系得： 2

2

22222n a 8n 2k 2p E μπ=μ=μ=h h (16) (3)节点(波函数的零点)数（P37图）：

n ψ有1n −个节点（与x 轴的交点，

即0n =ψ的点且除去两端点）； 2

n ψ有n 个极大值，两极大值之间有一零

点，共1n −个零点，且2

n ψ关于y 轴

对称。

(4)n ψ的奇偶性（宇称）

n ψ的奇偶性由n 决定，当n 为偶数时，n ψ为奇函数或奇宇称（odd parity）；当n 为奇数时，n ψ为偶函数或偶宇称（even parity）。 即有：)x ()1()x (n 1n n ψ−=−ψ−