人教版数学高一学案 弧度制 (人教A版必修4)

1.1.2 弧度制

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧长公式和扇形面积公式. 二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1、 角的弧度制是如何引入的？

2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？

3、 弧度是如何定义的？

4、 角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||l

r

α=

（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。 三、学习过程

（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。

练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、

2

r

的弧所对的圆心角分别为多少？

<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：

，α的正负由 决定。 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。

<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表

示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r

r r

παπ-=-

=-=-． （三）角度与弧度的换算

3602π=rad 180π=rad

180

1π

=

︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180

(

π

5718'≈

归纳：把角从弧度化为度的方法是：

把角从度化为弧度的方法是：

例1、把下列各角从度化为弧度：

(1)0

252 （2）0

/

1115 (3) 0

30 (4)'3067︒

变式练习：把下列各角从度化为弧度：

(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º

例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4

π

变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—3

4π （3）103π

（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：

||l r α=⋅

因为||l r

α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．

扇形面积公式：． 说明：以上公式中的α必须为弧度单位．

例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

变式练习 1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的1

2

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．

(2) ;R 2

1

(1)S 2α=2

(1) 1(2) 21

(3) 2

l R

S R S lR αα===

O

A

B

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB

，AB 所对的圆心角α 的弧度数为 ．

（六） 课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（七）作业布置 习题1.1A 组第7，8，9题。

课后练习与提高

1．在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。

2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是

多少？

3．选做题

如图，扇形OAB 的面积是2

4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

参考答案： 例1解：(1)

π57 （2）π0625.0 (3) π6

1

(4) π375.0 变式练习：解：(1) π81 （2）π6

7- (3) π320

例2、解：（1）108 º (2)200.5 º (3)114.6 º (4)45 º

变式练习：解：（1）15 º （2）-240 º （3）54 º 例3、解：因为2R+2R=8,所以R=2，S=4 变式练习：

1、

56，2、2，3、4cm 2 ，4、32π

课后练习与提高 1．答案：A=5π B=3π C=15

7π

2．答案：

2

25π 3．答案：1sin 4,2==AB α