材料力学 第八章叠加法求变形(345)
材料力学 组合变形完整版
x
（竖直xz面My） C
B
D
A
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
根据内力图分析
可能的危险截面：B和D
思考
如何通过计算确定危险截面的位置？
y
M
My
z
Mz
由于圆形截面的特殊性， 可将弯矩平行四边形合成
危险截面为B
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
4.确定危险点及应力状态
危险点的位置
y
y
M
My
z
Mz
M
z
T
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
危险点的应力状态
y
M
z
T
二向应力状态
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
5.根据强度理论进行强度校核 要求回顾如何根据材料选择强度理论
钢属于塑性材料，按第三或第四强度理论校核
第三强度理论校核： 1 3 []
第四强度理论校核：
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
2FL
FL
材料力学
3. 根据弯矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
FL
水平xz面：
2FL
FL
结论： 危险截面可 能是中点或 固定端。
材料力学
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
z
y
y
Mxy Mxz Wz Wy
Mxy 2 Mxz 2
材料力学
W
y
竖直xy面：
FL
Z
水平xz面：
2FL
σmax=|σ’+σmax| σmax≤[σ]
②扭转与弯曲组合
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
用叠加法求弯曲变形
解除多余约束后，所 得到的受力与原静不 定梁相同的静定梁
相当系统
y MA HA Ａ
RA
l a
C
P
Bx RB
B
Ａ
C
解除多余约束 后的静定结构
y MA HA Ａ
RA
l a
C
P
Bx RB9
相当系统求解
在多余约束B处建立 变形协调条件：
wB =0 wB,P wB,RB
MA HA Ａ
RA
Ａ
Pa 2
d 2I
3Ed
l2
M
6EI l2
6EI l2
x
15
§7. 6 梁的刚度条件及合理刚度设计
工程问题中，对受弯杆件除强度要求外， 还往往要求变形不能过大，即还有刚度要求。
吊车梁的变形过大，将使梁上
小车行走困难，出现爬坡现象。
16
齿轮轴即使有足够的 强度，但若弯曲变形过大， 将使轴上的齿轮啮合不良， 引起噪声，造成齿轮与齿 轮间或轴与轴承间的不均 匀磨损。
Me
q
F
A
B
l
解： wB wB (q) wB (F ) wB (M e )
ql 4
Fl 3
Mel2
8EI 3EI 2EI
5
例2 求图a简支梁C点的挠度。
q
q
A
BA
B
C
C
l/2
l/2
l/2
l/2
(a) q
A
C
l/2
l/2
(c)
(b)
解： wC ,(a ) wC ,(b) wC ,(c)
显然，此结论对转角也适用。
3
因此，当梁上同时作用几个载荷时，如果满足
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
用叠加法求梁的变形
y B y Bq y BRB
y Bq y BRB 0
(3).将(a)(b)代入(c)得：
(c)
RB L3 qL4 0 8EI Z 3EI Z
RB
3 qL 8
yBRB
A
RB
目录
§7-5 梁的刚度校核
一.刚度条件：
土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也
max
M max Wz
q 2
（其中：M max L2 45 KNm
Wz
b 2 2 3 h b ） 6 3
b3
3M max 178m m 2
h 2b 356 mm
(2).按刚度条件设计： 由附录查得：
f max f L L
就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。 机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度 和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工 精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。
桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。
综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限
MeL 3EI Z
Bq
BM
qL3 24EI Z
MeL 6 EI Z
yCq
5qL4 384EI Z
MeL2 16EI Z
yCM
(2).进行代数相加，求得：
yC yCq yCM
5qL4 MeL2 384EI Z 16EI Z
A Aq AM
§7-3 用叠加法求梁的变形
一.概述：
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法， 但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
第八章叠加法求变形(3,4,5)
θ
B2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
例题6 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
2 Pa ( 2 a ) 5q(2a) wC 16EI 384EI
4
0
5 P qa 6
例题7 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。 解:
wc1
l 3 P( ) 2 3EI
2EI
B
EI
Pl 3 24 EI
A
C
l/2 l/2
( )
p B
2. 解除AB段的刚化，并令BC段刚化。
l 1 l P( ) 3 Pl ( ) 2 3 5 Pl 2 2 2 wB () 3 2 EI 2 2 EI 96EI
θB l 2 1 l ) Pl 3Pl 2 2 2 2 2 2 EI 2 EI 16EI P(
θc1
pa f c1 3EI pa2 c1 2 EI fc1
3
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
θ
A
P
B2
B
刚化 EI=C来自fc2PaL B2 3EI fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B 2
Pa2 PaL c 2 EI 3 EI
例题 2
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 2
C
A1
wC
B1
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得
5q / 2l 4 5ql 4 wC 1 384EI 768EI ql A1 24EI 48EI q / 2l 3 ql 3 B1 24EI 48EI
材料力学课件：梁弯曲变形的叠加法
qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 q4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，
材料力学公式汇总
材料力学公式汇总一、轴向拉压。
1. 轴力计算。
- 截面法：F_N=∑ F_i（F_N为轴力，F_i为截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 正应力计算。
- σ=(F_N)/(A)（σ为正应力，A为横截面面积）3. 胡克定律。
- Δ L=(F_NL)/(EA)（Δ L为轴向变形量，L为杆件原长，E为弹性模量）4. 泊松比。
- ν =-(varepsilon')/(varepsilon)（ν为泊松比，varepsilon为轴向线应变，varepsilon'为横向线应变）二、扭转。
1. 扭矩计算。
- 截面法：T=∑ M_i（T为扭矩，M_i为截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正）2. 切应力计算（圆轴扭转）- τ=(Tρ)/(I_p)（τ为切应力，ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 对于圆轴最大切应力：τ_max=(T)/(W_t)（W_t=(I_p)/(R)，R为圆轴半径）- 对于实心圆轴：I_p=(π D^4)/(32)，W_t=(π D^3)/(16)（D为圆轴直径）- 对于空心圆轴：I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（d为空心圆轴内径）3. 扭转角计算（圆轴扭转）- φ=(TL)/(GI_p)（φ为扭转角，L为轴长，G为切变模量）三、弯曲内力。
1. 剪力和弯矩计算。
- 截面法：F_Q=∑ F_i（F_Q为剪力，截面左侧向上的外力或右侧向下的外力为正）- M=∑ M_i（M为弯矩，使梁下侧受拉的弯矩为正）2. 剪力图和弯矩图绘制。
- 利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系：(dF_Q)/(dx)=q(x)，(dM)/(dx)=F_Q，frac{d^2M}{dx^2} = q(x)（q(x)为分布载荷集度）四、弯曲应力。
1. 正应力计算（梁的纯弯曲）- σ=(My)/(I_z)（σ为正应力，M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z=(I_z)/(y_max)）- 对于矩形截面：I_z=frac{bh^3}{12}，W_z=frac{bh^2}{6}（b为截面宽度，h 为截面高度）- 对于圆形截面：I_z=(π D^4)/(64)，W_z=(π D^3)/(32)2. 切应力计算（矩形截面梁）- τ=frac{F_QS_z^*}{bI_z}（S_z^*为所求点以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 最大切应力（矩形截面）：τ_max=(3F_Q)/(2bh)（发生在中性轴上）五、弯曲变形。
《材料力学》第八章组合变形
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章组合变形及连接部分的计算
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
材料力学基础公式
材料力学基础公式一、轴向拉压。
1. 内力 - 轴力（N）- 截面法：N = ∑ F_外（轴力等于截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 应力 - 正应力（σ）- σ=(N)/(A)（A为横截面面积）3. 变形 - 轴向变形（Δ L）- 胡克定律：Δ L=(NL)/(EA)（L为杆件原长，E为弹性模量）- 线应变：varepsilon=(Δ L)/(L)，且σ = Evarepsilon二、扭转。
1. 内力 - 扭矩（T）- 截面法：T=∑ M_外（扭矩等于截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线为正）2. 应力 - 切应力（τ）- 对于圆轴扭转：τ=(Tρ)/(I_p)（ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 在圆轴表面：τ_max=(T)/(W_t)（W_t为抗扭截面系数）3. 变形 - 扭转角（φ）- φ=(TL)/(GI_p)（G为剪切弹性模量）三、弯曲内力。
1. 剪力（V）和弯矩（M）- 截面法：- 剪力V=∑ F_y（截面一侧y方向外力的代数和）- 弯矩M=∑ M_z（截面一侧对z轴外力矩的代数和）- 剪力图和弯矩图：- 集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力大小），弯矩图有折角。
- 集中力偶作用处，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶大小），剪力图无变化。
2. 弯曲正应力（σ）- σ=(My)/(I_z)（y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对z轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z为抗弯截面系数）3. 弯曲切应力（τ）- 对于矩形截面：τ=(VQ)/(Ib)（Q为所求点以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 对于圆形截面：τ=(4V)/(3A)（A为圆形截面面积）四、梁的变形。
1. 挠曲线近似微分方程。
- EIfrac{d^2y}{dx^2} = M(x)（y为挠度，x为梁轴线坐标）2. 用叠加法求梁的变形。
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学 叠加法求梁的变形及刚度条件
例题 5.9 &
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
A
3 L
C B L E L
1 F 2
D
L
1 F 2
A
3 L
B
C
D
L
1 w E = (w B + wC ) + w E 1 2
3
F 2 (3 L ) 9 FL3 w B = = 3 EI z 2 EI z
3
3 FL3 F 2 (L ) = w = C 6 EI z 3 EI z
5 FL w E = 2 EI Z
B L E
w E 1 =
F (2 L ) = 48 EI z 6 EI z
3
L
C
1 F 2
1 3 F FL 2
例题 5.10 &
q =
L
r
=
ML EI Z
M e
1 W = M q 2
横力弯曲
1 M 2 L Ve = M q = 2 2 EI Z
M e
dV e =
M ( x ) dx 2 EI Z
B
q 3 B =-
ML LaP 2 =3 EI 3 EI
+
P 2
图3
A
D
B
w 3C
P2 L a 2 = q 3 B a = 3 E I
l=400mm A D B
a=0.1m •叠加求复杂载荷下的变形
2 P L x q = 1 - P 2 La B 16 EI 3 EI P =2kN 2
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
材料力学(东华理工大学)智慧树知到答案章节测试2023年
第一章测试1.强度问题为构件抵抗破坏的能力。
A:对B:错答案:A2.材料力学的基本任务为强度、刚度和稳定性。
A:对B:错答案:A3.杆件的四种基本变形为轴向受拉、轴向受压、扭转和弯曲。
A:对B:错答案:B4.外力作用在杆件轴线上时发生轴向拉压变形。
A:对B:错答案:A5.材料力学的研究对象为？A:质点系B:可变形固体C:刚体D:质点答案:B6.在荷载作用下，构件应不至于破坏（断裂或失效），即具有抵抗破坏的能力。
这一问题属于？A:刚度问题B:稳定性问题C:强度问题答案:C7.在荷载作用下，构件所产生的变形应不超过工程上允许的范围，即具有抵抗变形的能力。
这一问题属于？A:稳定性问题B:强度问题C:刚度问题答案:C8.承受荷载作用时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定的平衡。
这一问题属于？A:强度问题B:刚度问题C:稳定性问题答案:C9.构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的什么有关？A:力学性能B:受力状态C:构件体系特点答案:A10.材料力学的基本任务为？A:刚度问题B:强度问题C:稳定性问题答案:ABC第二章测试1.杆件轴力图的绘制方法可采用截面法，截面法步骤可分为一截二代三平衡，其中平衡方程中力的正负号与轴力正负号规定准则一致。
A:错B:对答案:A2.轴力图可以清晰展示轴力沿着杆件各个横截面内力的分布规律。
A:对B:错答案:A3.弹性模量的单位为帕A:错B:对答案:B4.拉压超静定问题求解过程中需补充变形协调方程。
A:对B:错答案:A5.静定结构构件体系在温度作用下也会产生温度内力和应力。
A:错B:对答案:A6.轴向拉压变形时，哪个截面上的切应力最大。
A:60度斜截面上B:横截面C:30度斜截面上D:45度斜截面上答案:D7.屈服阶段的强度指标为?A:屈服应力B:比例极限C:强度极限D:弹性极限答案:A8.轴向拉压变形会在横截面上产生何种应力分量？A:正应力B:切应力C:全应力答案:A9.轴向拉压变形时，斜截面应力分量包含有？A:正应力B:切应力答案:AB10.低碳钢单轴拉伸时，应力应变关系曲线的弹性阶段包含？A:颈缩阶段B:强化阶段C:非比例阶段D:线性比例阶段答案:CD第三章测试1.薄壁圆筒扭转时横截面形状与大小均发生变化A:错B:对答案:A2.圆轴扭转时，圆周线大小、形状和间距均保持不变。
材料力学叠加法
材料力学叠加法材料力学叠加法是材料力学中常用的一种分析方法，它通过对不同加载条件下材料的应力和应变进行分析，来求解复杂加载条件下材料的力学性能。
在工程实践中，材料力学叠加法被广泛应用于材料的强度分析、断裂力学、疲劳分析等领域。
本文将对材料力学叠加法的基本原理、应用范围和实际案例进行介绍，希望能够为相关领域的研究和工程实践提供一定的参考。
材料力学叠加法的基本原理是基于线性弹性理论的。
在材料受到多种加载条件时，可以将每种加载条件下的应力和应变分解为各个分量的叠加，然后将各个分量的叠加结果相加得到最终的应力和应变。
这种叠加原理适用于线性弹性材料，在弹性极限内可以得到较为准确的结果。
叠加法的基本原理是通过对应力和应变的叠加来求解复杂加载条件下的力学性能，其核心思想是分解和叠加。
材料力学叠加法的应用范围非常广泛，包括静载、动载、疲劳加载等多种加载条件。
在静载条件下，叠加法可以用于分析材料的强度和刚度，对结构的安全性和稳定性进行评估。
在动载条件下，叠加法可以用于分析材料的动态响应，对结构的振动特性和动态稳定性进行评估。
在疲劳加载条件下，叠加法可以用于分析材料的疲劳寿命和疲劳断裂行为，对结构的疲劳安全性进行评估。
总之，材料力学叠加法在工程实践中有着广泛的应用价值。
下面通过一个实际案例来说明材料力学叠加法的应用。
假设一个工程结构在使用过程中同时受到静载和动载的作用，需要对其进行强度和稳定性分析。
首先，可以将静载和动载分别作用下的应力和应变进行分析，得到各自的叠加结果。
然后，将两种加载条件下的叠加结果相加，得到最终的应力和应变分布。
通过对最终的应力和应变分布进行分析，可以评估结构在静载和动载作用下的强度和稳定性，为结构的设计和改进提供依据。
综上所述，材料力学叠加法是一种常用的分析方法，其基本原理是通过对应力和应变的叠加来求解复杂加载条件下的力学性能。
叠加法的应用范围非常广泛，包括静载、动载、疲劳加载等多种加载条件。
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例题 5-5
试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角
B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知
EI为常量。
例题 5-5
解: 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图 a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)
逐段刚化法：
变形后：AB AB` BC B`C`
变形后AB部分为曲线 BC部分为直线。
C点的位移为：wc
wc wB wc
wB
B
L 2
例：求外伸梁C点的位移。
P
A
B
C
L
a
将梁各部分分别 引起的位移叠加
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
P
A
B
C
刚化
P
EI=
CHale Waihona Puke θc1f c1pa 3 3 EI
fc1
c1
pa 2 2 EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3 EI
c c1B2
θB2
P Pa
c
Pa 2 2 EI
PaL 3 EI
fc fc1fc2
fc
pa 3 3 EI
PaL 3 EI
a
[例8-4] 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2
上去,才是原外伸梁的A端挠度wA wA w1 w2
1 3
qa 3 EI
a
2q a 4
8 EI
7 qa 4 12 EI
ll
max[]
机械：1/5000~1/10000, 土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构
件正常工作时的要求。
[例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
解：
wC
5q(2a)4 384EI
Pa (2a ) 2 16 EI
0
P 5 qa 6
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解:
B
qa2 2a 2 3EI
qa(2a)2 16EI
qa3
顺时针
12EI
CB6 qa E3 I4 qa E 3 I 顺 时 针
wCBa8 qE4 aI2 5qE 44 a I
A1q 2/2 E 4l3I4qE 8 3lI
B 1q 2/2 E 4 l3 I4qE 3 8lI
例题 5-4
在集度为q/2的反对称均布
B2 荷载作用下，由于挠曲线也是
C
A2
与跨中截面反对称的，故有
wC2 0
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，
而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL 4 384EI
A
qL 3 24EI
B
qL 3 24EI
+
PL 3 48EI
PL 2 16EI
PL 2 16EI
+
ML 2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
P
解：由刚度条件
wmax4P8E3l I[w]5l00
得
48EI P50l02
挠度 wC 和两端截面的转角A 及 B。已知EI为
常量。
例题 5-4
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 5-4
C
A1 wC
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 B1 挠度和转角的公式，得
w C 153 q/8 2 E l4 4 I75q6 E 4l8 I
简支梁BC，由q产生的Bq 、wDq(图d)，由MB产生的 BM 、wDM (图e)。可查有关式，将它们分别叠加后 可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。
例题 5-5
B B qB M q 2 2 E a 4 3 q I 3 2 E 2 a a I 1 3 q E 3 a I
w D w D w q D 3 M 5 q E 8 2 a 4 4 q I 1 2 E 2 a a 6 2 I 2 1 q E 4 4 ( a ) I
因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为
受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简
支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得
A 2 B 2q/2 2 E l4 /2 3 I3qE 3 8l4 I
例题 5-4
按叠加原理得
w C w C 1 w C 2 7 5 q E 6 4l 8 0 I 7 5 q E 6 4l 8 I A A 1A 2 4 q E 3 8 l 3 IqE 3 8 l 4 1 I 3 q E 2 3l8 I
所组成。
FSB 2qa和弯矩 M B1 22qa2q2a 应当作为外
力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，
它们的指向和转向如图b及图c所示。
例题 5-5
图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况 与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处 的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。
[例8-6]求图示梁B、D 两处的挠度 wB、 wD 。
解：
w Bq(8 2 E a)4Iq3 (E 2 aa)3 I13q E 44a I
w Dw 2B2q 4(a E 2 8 a)3 I8 3 q E4a I
[例8-7]求图示梁C点的挠度 wC。
解：
三. 梁的刚度条件 刚度条件：wmax [w];
努力学习，报效祖国！
§8-3 用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然 后叠加。