数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版

（理）

【本讲教育信息】

一、教学内容：

选修2—1 空间向量及其运算

二、教学目标：

1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

b a AB OA OB

+=+=

b a

-=-=

)(R a OP ∈=λλ

运算律：

（1）加法交换律：a b b a

+=+

（2）加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

（3）数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b

的充要条件是存在实

数λ，使a

＝λb .

4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是

存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角

定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤

特别地，如果0,>==

90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

7．数量积

（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>

．

（3）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ⋅=<>． ②0a b a b ⊥⇔⋅=． ③2

||a a a =⋅．

（4）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． ②a b b a ⋅=⋅（交换律）．

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）． 8．空间向量的直角坐标运算律

（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，

112233(,,)a b a b a b a b -=---，

123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，

112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 0b a b a b a 0332211=++⇔=⋅⇔⊥

（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2

2

2

123||a a a a a a =

⋅=++2

2

2

123||b b b b b b =⋅=++．

（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则222,212121()()()A B d x x y y z z -+-+-．

（5）设A （a 1，a 2，a 3），B （b 1，b 2，b 3），则AB 的中点坐标为)2

,2,2(3

32211b a b a b a +++

【典型例题】

例1. 已知A （3，1，3），B （1，5，0），求：

（1）线段AB 的中点坐标和长度；

（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件

解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)2

3

,3,2()(21=+=

OB OA OM ． ∴AB 的中点坐标是)2

3

,3,2(，

)3,4,2(AB --=

29)3(4)2(||222=-++-=．

（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，

则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ， 化简得：07684=++-z y x ，

所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．

点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(--=共线。

例2. 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角

线BD ，AE 上，且13BM BD =

，1

3

AN AE =．求证：//MN 平面CDE ． 分析：要证明//MN 平面CDE ，只需证明向量NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE 和DC 线性表示．

证明：如图，因为M 在BD 上，且1

3

BM BD =，

所以111

333MB DB DA AB ==+．

同理11

33

AN AD DE =+，又CD BA AB ==-，

所以MN MB BA AN =++

1111

()()3333DA AB BA AD DE =++++ 2133BA DE =+21

33CD DE =+． 又CD 与DE 不共线，

根据共面向量定理，可知MN ，CD ，DE 共面． 由于MN 不在平面CDE 内， 所以//MN 平面CDE ．