八年级数学一次函数(二)浙江版知识精讲

初二数学一次函数（二）某某版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

一次函数（二）

二. 重点、难点：

1. 函数的图像就是直角坐标系内坐标满足函数关系的点的轨迹。

通常图像上点的横坐标是自变量的值，纵坐标是对应的函数值。

2. 一次函数的图像是一条直线

由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图像，只要通过两对对应的值确定两个点即可画出。反之，若函数的图像是一条直线，则该函数是一次函数。

3. 对于一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)，k 的符号决定了函数的增减性，由k ，b 的符号可决定直线经过哪些象限。

【典型例题】

例1. 已知一次函数y ＝kx ＋b ，kb>0，问：函数的图像一定经过哪些象限？ 解：∵kb>0 ∴k ，b 的符号相同

①若k>0，b>0时，直线y ＝kx ＋b 过第一、二、三象限。

②若k<0，b<0时，直线y ＝kx ＋b 过第二、三、四象限。

∴由①、②得知，当kb>0时，直线y ＝kx ＋b 一定过二、三象限

例2. 某一次函数的图像过y ＝3x －5，y ＝－x ＋3两条直线的交点，且与X 轴交点的横坐标为－2。

①当y =x 的值是多少？

②当x 为何值时，y<0?

解：①直线y ＝3x －5，y ＝－x ＋3相交，∴3x －5＝－x ＋3 ∴x y ==⎧⎨⎩

21，∴交点为（2，1） 设直线y ＝kx ＋b(k ≠0)过点（2，1）和（－2，0）

∴解得y ＝

1142

x +

∴当y =x =--242， ②∵y<0 ∴1412

0x +<∴ x ＋2<0 ∴x<－2

例3. 直角坐标系中，已知点A （4，0），点P 在第一象限内的直线y ＝－x ＋6上，设△OPA 的面积为S 。

①S 与y 具有怎样的函数关系？求出自变量y 的取值X 围

②S 与x 具有怎样的函数关系？求出自变量x 的取值X 围

③当S ＝10时。求点P 的坐标。

解：△OAP 中，边OA 长为定值，则S 为PB 长的函数，但PB 长即为点P 的纵坐标,则可得到S 与y 的函数关系式；

又点P 在直线y ＝－x ＋6上， ∴可得S 关于x 的函数关系式 ①∵S OA PB OAP ∆=12

||||

∴1422

S y y =⨯⨯= x P

②∵点P （x ，y ）在直线y ＝－x ＋6上，

∴S x x =-+=-26122（） (0≦X<6)

①当S ＝10时，2y ＝10，∴y ＝5

当y ＝5时，5＝－x ＋6 ∴x ＝1 ∴P(1，5)

例4. 如图，四边形AODB 是边长为2的正方形，C 为BD 中点，现以O 为原点，OA 、OD 所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，使D 、A 分别在x 轴、y 轴的正半轴上。

①求直线AC 的解析式

②若EC ⊥AC 于C ，交x 轴于点E ，连结AE ，求证：BAC EAC ∠=∠

解：①由题意知A （0，2）,C （2，1），设直线AC 为y ＝kx ＋b ∴211,2221

22b k b y x k b =⎧∴=-=∴=-+⎨+=⎩ x

y

②设直线AC 交x 轴与F ，可证得：Rt ABC Rt FDC ∆∆≅

∴AC ＝CF ，∠BAC ＝∠AFE

又∵EC ⊥AF ∴EC 为AF 的中垂线 ∴AE ＝EF ，∴∠EAC ＝∠AFE ，

∴∠BAC ＝∠EAC

例5. 已知直线x y k x y k -=-++=+26341和，若它们相交于第四象限。

①求k 的取值X 围。

②若k 为非负整数，且已知点A （2，0），点P 在直线x y k -=-+26上求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标。

解：①∵直线x y k x y k -=-++=+26341和相交于第四象限

∴方程组有解。∴解方程组x y k x y k -=-++=+⎧⎨⎩26341，得x k y k =+=-⎧⎨⎩

41 ∴交点为（k ＋4，k －1）又∵k k +>-<⎧⎨⎩

4010∴-<<41k

②∵-<<≥⎧⎨⎩410k k k ，为整数

k ＝0

∴直线为x －2y ＝6和x ＋3y ＝1

但，P 在直线x －2y ＝6上，∴不妨设P （a ，12

3a -）

又△PAO 为等腰三角形

∴有三种可能：1° OP ＝PA ； 2° OP ＝OA ；3° OA ＝PA

∴经讨论可解得点P 的坐标为 P P P 1231522218565

（，），（，）和（，）---

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 一次函数123

y x =-+的图像上有两点A （a 、3）和B （3、b ），则a ＋b 的值（ ） 2. 两条直线y ＝px ＋1和y ＝3qx －4相交于x 轴上一点，则p q

的值是 3. 当－1

A. y ＝2x

B. y ＝－2x ＋4

C. y ＝2x 或y ＝－2x ＋4

D. y ＝－2x 或y ＝2x ＋4

4. 在同一直角坐标系中，对直线23411,1,1,2(1)x y x y x y x y =--=+=-+=-+以下正确的是（ ）

A. 过点（－1，0）的是1y ，3y

B. 交点在y 轴上的是2y 、4y

C. 互相平行的是1y 、3y

D. 与x 轴对称的是2y 、3y

5. 已知函数y ＝－x ＋n ，y ＝nx －4的图像的交点在x 轴的负半轴上，求n 的值。

6. 求两条直线y ＝－2x －2和y ＝2x －6与坐标轴所围成的三角形的面积。

7. 已知直线2

y=(n+1) x-n 25n ++过点（0，－3），且它对应的函数值y 随x 的增大而减小，求n 的值。

8. 已知y 是x 的一次函数，它的图像过点P （－2、3），与x ，y 轴分别交于A 、B ，若S PAO ∆=6，求点B 的坐标。

试题答案

1. －2

2. 34

- 3. C

4. C

5. n ＝－2

6. 8

7. n ＝－2