用空间向量证明线线垂直与线面垂直

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第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直

一、空间向量及其数量积

1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。用或表示,其中向量的大小称为向量的长度或

或a

。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示,空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为(x 1,y 1,z 1),点B 坐标为(x 2,y 2,z 2) 则向量=(x 2 -x 1,y 2- y 1,z 2 -z 1)即是终点坐标减起点坐标。 在空间,知道向量=(x ,y ,z

222z y x 2、 空间向量数量积

① 已知两个非零向量、,在空间任取一点O ,作=,=,则角∠AOB 叫向量与的

夹角,记作<,>规定,若0≤<,>≤ ,若<,>=2

,称与垂直,记作⊥b 。

② 已知空间两个向量、

COS <,>叫向量、的数量积,记作a

COS

<,>若⊥ a

=0

③ 若已知空间向量=(x 1,y 1,z 1), =(x 2,y 2,z 2) 则•=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 , COS <,

2

2

2

22

22

12

12

12

12121z y x z y x z z y y x x

例1 如图,已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点,若BC=CA=CC 1,求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。

C 1

B 1 A1

B D 1 E 1

练习:已知正方体ABCD —1111D C B A 中,11E B =11F D =4

1

1B A ,求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。

二 、利用向量证线线垂直与线面垂直

例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中,求证A 1C ⊥平面AB 1D 1

练习:在正方体ABCD —1111D C B A 中,O 为底面ABCD 的中心,P 为DD 1的中点, 求证:B 1O ⊥平面PAC 。

例3 如图,PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M, N 分别是AB ,PC 中点 (1)求证:M N ⊥CD

E D A 1

F

D 1

A

B 1

C B

C 1 B

A D C

B A

C D B 1 A 1 D C B A C 1

D 1 O P P

N

(2)若∠PDA=450,求证:MN ⊥平面PCD

练习:正方体ABCD —1111D C B A 中,M 是棱D 1D 中点,N 是AD 中点, P 为棱A 1B 1上任一点。求证:NP ⊥AM

作业:

1.如图,正方体ABCD —1111D C B A 中,E 是BB 1中点,O 是底面ABCD 中心,

求证:O E ⊥平面D 1AC.

2.如图,正方体ABCD —1111D C B A 中,O ,M 分别是BD 1, AA 1中点,求证:OM 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线.

3、如图,直三棱柱ABC-—A 1B 1C 1中,∠ACB=900

,AC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,,侧面AA 1B 1B 的两

条对角线交点为D ,B 1C 1的中点为M 。求证:CD ⊥平面BDM

A 1

A

B

N A

C

D A 1

B 1

D 1

M P C 1

E

O

B 1 A 1 D

C B A

C 1

D 1

O

M

B 1

A 1

D

C

B

A

C 1

D 1

4在棱长为a 的正方体ABCD —1111D C B A 中,E , F 分别为棱AB 和BC 的中点,M 为棱B 1B

上任一点,当

MB

M

B 1值为多少时能使D 1M ⊥平面EFB 1

5、如图, ABC 为正三角形,AE 和CD 都垂直于平面ABC ,且AE=AB=2a , CD=a ,F 为BE 中点,求证:A F ⊥BD

6、如图,已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中B 1C 1=A 1C 1,A 1B ⊥AC 1。 求证:A 1B ⊥B 1C

A A

M

C

B

B

C

D 1

E

F D F

E D C B A

第三节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

一、二面角

二面角 l ,若 的一个法向量为, 的一个法向量为,则|

|||,cos n m

,二面角的

大小为 ,或 ,

例1.如图,正三棱柱111C B A ABC 中,E 为1BB 的中点,111B A AA ,求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐角的大小。

例2.(05年全国)如图,在四棱锥V-ABCD

,平面V AD ⊥底面ABCD . (1)证明AB ⊥平面V AD ;

(2)求面V AD 与面VBD 所成的二面角的大小.

练习:如图,棱长为1的正方体

1111D C B A ABCD 中,E 是1CC 的中点,

求二面角D E B B 1的余弦值。

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