带符号数的原码、反码与补码

一．带符号数的原码、反码与补码

所谓带符号数，其实就是一个二进制数据，它的最高位所代表的是符号，其余位是其“绝对值”。例如0101_0011，这个数据如果是带符号数，那么最高位的0就是代表这个数据为正数，其后的101-0011则代表这个数据的绝对值，为+83D。如果是1101_0011，则代表-83D。

1.1 原码

原码就是按照正数的符号位为0，负数的符号位为1，其他位就是数据的绝对值即可。例如当机器字长为8bit的二进制数时，它的最高位为符号位，因此其余的7bit位数据的绝对值。因此原码所能表示的数据范围是：

- (2n-1-1)~+(2n-1-1)

当字长为8bit，则原码能表示的范围就是：-127~+127

例如83的原码就是：0101_0011

当字长为16bit，则原码能表示的范围就是：-32767~+32767

例如-83的原码就是：1000_0000_0101_0011

1.2反码

对于一个带有符号位的二进制数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位外其余各位按位取反。

例如当字长为8bit时，+83D的反码就是：0101_0011，-83D的反码就是1010_1100

负数的反码与原码有很大的差别，一般情况下，反码主要用来当做求二进制数补码的中间形式。反码所表示的数据范围与原码相同：

- (2n-1-1)~+(2n-1-1)

1.2补码

正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。

例如：

X=+101_1011 [X]原码=0101_1011 [X]补码=0101_1011

X=-101_1011 [X]原码=1101_1011 [X]补码=1010_0101

补码表示的范围是：

- 2n-1~+(2n-1-1)

当字长为8bit，则原码能表示的范围就是：-128~+127

当字长为16bit，则原码能表示的范围就是：-32768~+32767

关于0，它有两个补码：

正零：0000_0000

负零：1000_0000

二．通过补码求解原值的方法

1）对于正数，它的原值与补码相同；

2）对于负数，它的原值就是将补码除符号位以外，安位取反之后，末位加1。

例如【X】=0101_1001，由于最高位是0，因此是正数，原值与补码相同，也是0101_1001，转换成10进制就是+89D。

【X】=1101_1010，由于最高位是1，因此原值是负数，符号位外其余各位安位取反为：1010_0101，然后末位加1可得到原值：1010_0110，就是-38D。

三．利用补码进行加减运算

3.1加法运算

对于加法运算，首先需要计算【X+Y】补，然后再经过补码转原码的方式获得原值。

【X+Y】补=【X】补+【Y】补

例如：X=+011_0011 Y=-010_1001即：X=+51D, Y=-41D

则【X】原=0011_0011 【X】反=0011_0011 【X】补=0011_0011

【Y】原=1010_1001 【Y】反=1101_0110【Y】补=1101_0111

因此【X+Y】补=【X】补+【Y】补=0011_0011+1101_0111=0000_1010，再换原码为+10D。

3.2减法运算

对于减法运算，首先需要计算【X-Y】补，然后再经过补码转原码的方式获得原值。

例如：X=+011_1001Y=+100_1101 即：X=+57D, Y=+77D

则【X】原=0011_1001【X】反=0011_1001 【X】补=0011_1001

【-Y】原=1100_1101【-Y】反=1011_0010【-Y】补=1011_0011

因此【X-Y】补=【X】补+【-Y】补=0011_1001+1011_0011=1110_1100，将【X-Y】补低7位进行取反，为1001_0011，再将其末位加1，可得【X-Y】原=1001_0100，转换成10

进制的数即为-20D。

由此可知，补码的意义就是可以把所有的加法与减法都转换成加法进行计算，这样非常适用于计算机进行运算处理。

四．关于求补码的深入讨论

通过上面这个表可知，-128如果用8bit的二进制数表示就是1000_0000，“反码+1”的计算方法并不适用-128，所以-128这个数比较特殊，需要特殊记忆。

其实求一个数的补码，按照补码最原始的定义，其实就是正数与原码相同，而负数采用“模减去绝对值”的方法来求，这是求补数的通用方法，适合于各种进制、各种大小数字。

下面就从计算机的角度深入理解补码的概念。

4.1模与补数的概念

在日常生活当中，可以看到很多这样的事情：

把某物体左转90 度，和右转270 度，在不考虑圈数的条件下，最终的效果是相同的；

把分针倒拨20 分钟，和正拨40 分钟，在不考虑时针的条件下，效果也是相同的；

把数字87，减去25，和加上75，在不考虑百位数的条件下，效果也是相同的；

……。

上述几组数字，有这样的关系：

90 + 270 = 360

20 + 40 = 60

25 + 75 = 100

式中的360、60 和100，就是“模”（也可以理解成“进制”）。

式中的90 和270、20 和40，以及25 和75，就是一对“互补”的数字。

知道了“模”，求某个数字的“补数”，就是轻而易举的了：如果模为365，数字120 的补数为：365 - 120 = 245。用补数代替原数，可把减法转变为加法。出现的进位就是模，此时的进位，就应该忽略不计。

4.2二进制数的模

前面说过的十进制数25 和75，它们是2 位数的运算，模是100，即1 的后面加上2 个0。如果有3 位数参加运算，模就是1000，即1 的后面加上3 个0。这里的1000，是十进制数的一千，可以写成10^3，即10 的3 次方。

推论：有多少位数参加运算，模就是在1 的后面加上多少个0。

对于二进制数字，模也是这样推算。

如果是3 位二进制数参加运算，模就是1000，即1的后面加上3个0；

那么当8 位二进制数参加运算，模就是1 0000 0000，即1的后面加上8个0。