空间向量的正交分解及其坐标表示
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[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的 运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复 分拆，直到全部可以用基底表示为止．
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
上的一点，且 OG＝3GG1.若OG＝xOA＋yOB＋zOC ，
则(x，y，z)为
()
A．(14，14，14)
B．(34，34，34)
C．(13，13，13)
D．(23，23，23)
解析：∵OG＝34OG1 ＝34(OA＋ AG1 ) ＝34OA＋34×23[12( AB＋ AC )] ＝34OA＋14[(OB－OA)＋(OC －OA)] ＝14OA＋14OB＋14OC ， 而OG＝xOA＋yOB＋zOC ，∴x＝14，y＝14，z＝14.
又 A1D＝ AD－ AA1 ＝b－c, 故 AN ＝ AD＋ DN ＝ AD－ ND＝ AD－13 A1D＝b－13(b－c)． 故 MN ＝ MA＋ AN ＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b＋c).
[例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M,N 分别是 AB,PC 的中 点，并且 PA＝AD＝1.在如图所示的空 间直角坐标系中，求向量 MN 的坐标．
AE ＝ AP ＋ PE ＝ AO＋OP ＋12( PO ＋OC )＝－a＋c＋12 (－c＋b)＝－a＋12b＋12c.
EF ＝12CB＝12OA＝12a.
[一点通] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加 法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法 则．
3．设 O－ABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．
∴11＝＝μλ，， 0＝λ＋μ.
此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
[一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用 反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不 共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实 数λ,μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ ＋μ)c.
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－ e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC ＝e1＋e2－e3，试判断{OA， OB，OC }能否作为空间的一个基底？
解：假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知存 在实数 x，y 使OA＝xOB＋yOC 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底.给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}， ③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}. 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设 a＝ AB，b＝ AA1 ， c＝ AD，则 x＝ AB1 ，y＝ AD1 ， z＝ AC ，a＋b＋c＝ AC1 .由 A, B1,D,C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b， c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间的基底.因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 答案：3
(2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的 公共起点O 为原点，分别以e1，e2，
e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它 平移 ，使
它的 起点 与原点O重合，得到向量 OP ＝p.由空间向量基
本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝
答案：A
4.如图，已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1， MA＝－13 AC ， ND＝13 A1D.设 AB ＝a， AD＝b， AA1 ＝c ，试用 a,b, c 表示 MN . 解：连接 AN,则 MN ＝ MA＋ AN . 由 ABCD 是平行四边形， 得 AC ＝ AB＋ AD→＝a＋b， 则 MA＝－13 AC ＝－13(a＋b).
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
上的一点，且 OG＝3GG1.若OG＝xOA＋yOB＋zOC ，
则(x，y，z)为
()
A．(14，14，14)
B．(34，34，34)
C．(13，13，13)
D．(23，23，23)
解析：∵OG＝34OG1 ＝34(OA＋ AG1 ) ＝34OA＋34×23[12( AB＋ AC )] ＝34OA＋14[(OB－OA)＋(OC －OA)] ＝14OA＋14OB＋14OC ， 而OG＝xOA＋yOB＋zOC ，∴x＝14，y＝14，z＝14.
又 A1D＝ AD－ AA1 ＝b－c, 故 AN ＝ AD＋ DN ＝ AD－ ND＝ AD－13 A1D＝b－13(b－c)． 故 MN ＝ MA＋ AN ＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b＋c).
[例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M,N 分别是 AB,PC 的中 点，并且 PA＝AD＝1.在如图所示的空 间直角坐标系中，求向量 MN 的坐标．
AE ＝ AP ＋ PE ＝ AO＋OP ＋12( PO ＋OC )＝－a＋c＋12 (－c＋b)＝－a＋12b＋12c.
EF ＝12CB＝12OA＝12a.
[一点通] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加 法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法 则．
3．设 O－ABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．
∴11＝＝μλ，， 0＝λ＋μ.
此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
[一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用 反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不 共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实 数λ,μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ ＋μ)c.
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－ e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC ＝e1＋e2－e3，试判断{OA， OB，OC }能否作为空间的一个基底？
解：假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知存 在实数 x，y 使OA＝xOB＋yOC 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底.给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}， ③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}. 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设 a＝ AB，b＝ AA1 ， c＝ AD，则 x＝ AB1 ，y＝ AD1 ， z＝ AC ，a＋b＋c＝ AC1 .由 A, B1,D,C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b， c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间的基底.因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 答案：3
(2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的 公共起点O 为原点，分别以e1，e2，
e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它 平移 ，使
它的 起点 与原点O重合，得到向量 OP ＝p.由空间向量基
本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝
答案：A
4.如图，已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1， MA＝－13 AC ， ND＝13 A1D.设 AB ＝a， AD＝b， AA1 ＝c ，试用 a,b, c 表示 MN . 解：连接 AN,则 MN ＝ MA＋ AN . 由 ABCD 是平行四边形， 得 AC ＝ AB＋ AD→＝a＋b， 则 MA＝－13 AC ＝－13(a＋b).