正多边形作图教案(一)

正多边形作图教案(一)

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使学生学会用量角器等分圆周的方法；熟练地掌握用尺规将圆周六、三、十二、四、八等分．

尺规等分圆周是重点，特别是将圆周四等分、六等分更为重要．

正n边形的中心角是多少？正六边形的边长是多少？

前面我们讲过，任意一个正n边形都有一个外接圆，并且正n边形的n个顶点把圆n等分．因此，正n边形的作图问题，实质上就是把它的外接圆n等分问题，把圆n等分后，依次连结各分点就得到正n边形．这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分．

等分圆周的方法有两种：

1．使用量角器法

n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形．由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法．

2．尺规作图法

由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法．尺规作图法比较准确．

(1)正四、八边形的作图；

正四边形的作法：

如图1，①作直径AC⊥BD；

②依次连结AB、BC、CD、DA．

则四边形的ABCD即为所求作的正四边形．

证明：∵直径AC⊥BD，

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，

∴A、B、C、D是⊙O的四等分点，

∴四边形ABCD是正四边形．

正八边形的作法：

如图2，①作直径AC⊥BD；

②作∠AOB、∠BOC的平分线交⊙O于E、F点．

③延长EO、FO交⊙O于G、H点；

④依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．

则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形．

证明：∵直径AC⊥BD，

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°

∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，

∴∠1=∠2=∠3=∠4．

∵∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8，

∴八边形AEBFCGDH为正八边形．

(2)正六、三、十二边形的作图

正六边形的作法：

如图3，①作直径AD；

②分别为A、D为圆心，以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E；

③依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA．

则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形．

证明：连结OB、OC、OE、OF．

∵AB=OA=OB，

∴∠1=60°

同理∠2=∠3=∠4=60°．

∵∠AOD=180°，

∴∠5=∠6=60°．

∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2．

∴六边形ABCDEF是正六边形．

正三角形的作法：

如图4，①作直径AD；

②以D为圆心，以⊙O半径为半径画弧交⊙O于B、C点；

③依次连结AB、BC、CA．

则△ABC即为所求作的正三角形．

证明：连结OB、OC、BD、CD．

∵BD=DO=OB，

∴∠BOD=60°．

同理∠DOC=60°

∴∠BOC=120°．

∵∠AOD=180°，

∴∠AOB=∠AOC=120°．

∵∠AOB=∠BOC=∠COA，

则△ABC为正三角形．

说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大．

正十二边形的作法：

如图5，①作直径AG⊥DQ；

②分别以A、D、G、Q为圆心，以⊙O半径为半径画弧分别交⊙O于C、R、

B、F、E、P、H、S点；

③依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA．

则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形．

证明：连结AC、OB、OC、OE、…、

OS．

∵AC=OA=OC，

∴∠AOC=60°．

∵直径AG⊥DQ，

∴∠AOD=90°，

∴∠COD=30°．

同理∠AOB=30°，

∴∠BOC=30°．

同理∠DOE=…=∠SOA=30°．

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA，

∴十二边形ABCDE…S为正十二边形．

说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确．

当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些．

注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差，应尽量避免从圆上某

一点开始连续截取等弧的方法．

小结：这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法．通过作图，大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题．在生产实践中，常常会遇到等分圆周的问题，所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法．

1．用量角器画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出正五角星．

2．(1)画一个半径为2cm的正九边形；

(2)画一个边心距为2cm的正六边形．

3．尺规作图：

(1)作半径为2cm的⊙O内接正八边形；

(2)作半径为2cm的⊙O内接正十二边形．

4．已知⊙O和⊙O上的一点A，

(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内