陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)配套题库【课后习题(9-12章)】(圣才出品)

；于是
对一切 n＞N 成立，
且
中有无穷多项，满足
；于是
（2）设 c＞0，
，则对任意给定的
，存在正整数 N，使得 xn＜
对
一切 n＞N 成立，且 中有无穷多项，满足
；于是 cxn＜ 对一切 n＞N
成立，且
中有无穷多项，满足
；所以
设 c＜0，
，则对任意给定的 ，存在正整数 N，使得
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对一切
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当 a＞1 时，级数收敛；当 0＜a＜1 时，级数发散；
当 a=1，
，级数发散．
（2）设
，则
由 Raabe 判别法，级数收敛．
（3）设
，则
由 Raabe 判别法，级数发散．
4．讨论下列级数的敛散性：
解：（1）当 n≥2，有
由于
收敛，所以
发散．
5．利用不等式
收敛．
，由于
发散，所以
由于
收敛，所以
收敛．
，证明：
和
的交点的横坐标的
绝对值为
，于是
（2）
§2 上极限与下极限
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1．求下列数列的上极限与下极限：
解：
2．证明：
证明：仅对
是有界数列给出证明．
（1）设
，则对任意给定的 ，存在正整数 N，使得
对一切 n
＞N 成立，且 中有无穷多项，满足
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（6）
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由于
收敛，所以
收敛．
（7）由于
，所以
发散．
（8）因为当 n≥3 有
由于
发散，所以
（9）设
，则
发散．
由 d’Alembert 判别法， （10）设
收敛． ，则
由 Cauchy 判别法，
（11）设
，则
收敛．
由 d’Alembert 判别法，
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将此两式与前面两式结合，即得到
§3 正项级数 1．讨论下列正项级数的敛散性：
解：（1）因为
，由于
收敛，所以
收敛．
（2）因为
，由于
发散，所以
发散．
（3）因为
，由于
发散，所以
发散．
（4）因为当 n≥4 有
，由于
收敛，所以
收敛．
（5）因为
，由于
收敛，所以
收敛．
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（12）设
，则
收敛．
由 d’Alembert 判别法，
收敛．
发散．
由于
发散，所以
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由于
收敛，所以
收敛．
由于
收敛，所以
收敛．
由于
收敛，所以
（17）设
收敛． 则
由 d’ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlembert 判别法，
收敛．
2．利用级数收敛的必要条件，证明：
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4．证明：若
，则
证明：由 N1，对一切 n＞N1，成立
，可知对任意给定的
，存在正整数
记 切 n＞N2，成立
，则对上述
，存在正整数 N2，对一
取
，则当 n＞N 时，成立
于是
由 的任意性，即得到
由于
又得到
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证明：（1）设
，则
判别法，
收敛，所以
（2）设
，则
收敛，所以
，由 d’Alembert ，由 d’Alembert 判别法，
3．利用 Raabe 判别法判断下列级数的敛散性：
解：（1）设
则
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由 Raabe 判别法
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第 9 章 数项级数
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§1 数项级数的收敛性
1．讨论下列级数的敛散性．收敛的话，试求出级数之和．
解：
所以 （2）因为
，所以级数发散．
所以
所以 （5）因为
（6）
，所以级数发散．
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，所以
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收敛时，
必定收敛，
当
发散时，
必定发散；
若
，则当 n 充分大时有 xn＞yn，所以当
当
收敛时，
必定收敛．
发散时，
必定发散，
7．设正项级数
收敛，则
也收敛；反之如何？
解：设正项级数
收敛，则
，所以当 n 充分大时，有 0≤xn＜1，即有
，
因此
收敛；反之，当
收敛时，
不一定收敛．例如
，则
收敛，
但
发散．
8．设正项级数 结论是否仍然成立？
上二阶可导，且
，证明级数
收敛．
证明：（1）级数
的部分和为
，
由
得到
（2）由 Lagrange 中值定理以及
单调减少，得到
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存在（此极限为 Euler 常数 ，见例 2．4．8）．
证明：设
，则
所以数列 单调减少有下界，因此收敛．
6．设 关系如何？
解：若
与
是两个正项级数，若
或 ，请问这两个级数的敛散性
，则当 n 充分大时有 xn＜yn，所以当
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n＞N 成立，且
中有无穷多项，满足
；于是
对一切 n＞N 成
立，且
中有无穷多项，满足
；所以
3．证明：
（2）若
存在，则
证明：（1）记 切 n＞N，成立
，即
于是
，则对任意给定的 ，存在正整数 N，对一
由ε的任意性，即得到
（2）若
存在，则由（1），
且
两式结合即得到
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，收
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4．设 解： 于是
所以
，求级数
的和．
5．设抛物线
和
的交点的横坐标的绝对值为 an
（n=1，2，…）．
（1）求抛物线 l0 与 所围成的平面图形的面积 Sn；
（2）求级数
的和．
解：（1）容易求出抛物线
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（7）
，所以
（8）设
，则
两式相减，得到
所以 （9）
利用 Euler 公式
，由
，得到
，对上式两边取实部，得到
2．确定 x 的范围，使下列级数收敛：
解：（1）由
解得
（2）由 ex＜1 解得
（3）当 x=1 时，显然级数收敛；当 x≠1 时，
敛范围是
；所以当
时，级数收敛．
3．求八进制无限循环小数（36.073 607 360 7…）8 的值． 解：（36.0736073607…）8
解：设正项级数
收敛，则当
时，级数
收敛．当
时，由
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收敛；又问当 0＜
时，
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以及
与
的收敛性，可知
收敛．
当
时，
不一定收敛．例如
，则
收敛，但
发
散．
9．设 f（x）在
上单调增加，且
（1）证明级数
收敛，并求其和；
（2）进一步设 f（x）在