第七章弯曲剪应力(3,4,5)

∫A* ydA =
d
h
z
H
*
M + dM NII = Iz
M + dM * ∫A* ydA = I z Sz
N II − N I = τδ d x
S dM τ= Izδ dx
Fs S τ= I zδ
* z
*
Nl
dx
* z
b
dx y Nll
z
b S = (H −δ )( − z) 2 2
δ
四.圆及圆环截面梁的剪应力
鱼腹梁
§7-5 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心
一、非对称截面梁平面弯曲的条件
前面讨论的平面弯曲， 前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对 称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。 称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对 于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y 于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y 形心主惯性轴y 与轴线x 、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组成两个形心主惯 性平面xOy xOy、 性平面xOy、xOz
P/2
A x P C
L
P/ 2
同理： 同理：若b为常量，高度h=h(x) 为常量，高度h=h(x) 1 2 Px B W ( x) = bh ( x) = 6 2[σ ]
3Px ∴ h( x ) = [σ ]b
半抛物线
h(x) min
h(x)
由剪切强度条件：
3P 3 Q 3 P/ 2 max τmax= = × ≤[τ] ∴h(x)min = 4[τ ]b 2 A 2 bh
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.具有纵对称轴截面梁的剪应力
对于薄壁、 对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力
M y σ = Iz
q(x)
F b h
x
z
M(x)
dx
q(x)
M(x) +d M(x)
y
Fs
Fs + dFs
在h >b 的情况下
假设
1)τ的方向都与 Fs 平行 2 )τ 沿宽度均布。
τ
y
τ
πd 3
a4 I z = (1− β 3 )(1+ 3β ) 12
4
的材料， 1）对于[σt]= [σc]的材料，可用与中性轴对称的 对于[ 截面，使截面上、下边缘σ 截面，使截面上、下边缘 tmax= σcmax 2）对于[σt]≠[σc]的材料，如铸铁[σt]＜[σc]， 对于[ ]≠[ 的材料，如铸铁[ 宜用中性轴偏于受拉边的截面。 宜用中性轴偏于受拉边的截面。
FQ
1.圆截面 1.圆截面 最大剪应力： 最大剪应力：
4 Fs τ max = 3 A 2.圆环截面 2.圆环截面
最大剪应力： 最大剪应力：
y
τ max
2 Fs = A
第二个强度条件） 五.弯曲剪应力强度条件 （第二个强度条件）
τ max =
* Fs max S Z max
IZ b
≤ [τ ]
[例7-9]圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应 9]圆形截面梁受力如图所示。 圆形截面梁受力如图所示 =160MPa，［ =100MPa， 力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin q =20kN/ m
F
y1
C
z
y2
σ t max y1 [σ t ] = = σ c max y2 [σ c ]
三、采用变截面梁、等强度梁的概念 采用变截面梁、
梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力 M (x) 称为等强度梁 等强度梁。 ［σ］时，称为等强度梁。 即： max = ］ σ = [σ ] W (x) 例如：矩形截面梁，跨中C处受 例如：矩形截面梁，跨中C P/ 2 P/2 P 集中力P,截面高h为常数， P,截面高 集中力P,截面高h为常数，宽度 可变化，b=b（ b可变化，b=b（x）,求b（x） A B C 研究半梁AC 研究半梁AC x
p M ( x) = x 2
1 W(x) = b(x)h2 6
L
由等强度条件： 由等强度条件： σ max = M ( x ) = [σ ] W ( x) 1 Px 2 W(x) = b(x)h = 3Px 6 2[σ] ∴b(x) = 2 [σ ]h b(x)min
b(x)
3Q 3 P/2 τmax= max= × ≤[τ] 对于矩形截面： 对于矩形截面： 2 A 2 bh 3P 3P ∴b( x) ≥ 即： b( x ) min = 4[σ ]h 4[σ ]h
h h 2 2
解：叠梁承载时，每 叠梁承载时， 梁都有自己的中性层 1.梁的最大正应力 1.梁的最大正应力：
1 M max σ max = 2 W′ h b( ) 2 bh2 其中： 其中 W ′ = 2 = 6 24
L
Fs
b
F
-FL
M
σ max
M max 12 FL = = 2W ′ bh 2
2.当两梁用螺栓联为 当两梁用螺栓联为 h 一体时， 一体时，中性轴只有 2 z h 一个： 一个： 2 M max FL σ max = = 2 b W bh / 6 6FL bh 2 [σ ] σ 由正应力强度条件： 由正应力强度条件： max = 2 ≤ [σ ] ∴ [ F ] ≤ Bh 6L 可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。 可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。 3.求螺栓最小直径： 求螺栓最小直径： 求螺栓最小直径
6 Fs h 2 τ = 3 ( − y2 ) bh 4 y
τ max
3 Fs 3 Fs = = 2 bh 2 A
•
z
h
τ max
b
τ max
3 Fs = 2 bh
三.工字形截面梁的剪应力
翼缘
在腹板上： 在腹板上：
b
y
h
H
腹板
B
在翼缘上， 的剪应力分量， 在翼缘上，有平行于Fs的剪应力分量，分布情况 较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 在翼缘上， 方向的剪应力分量， 在翼缘上，还有垂直于Fs方向的剪应力分量，它 与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力， 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了 截面上的大部分弯矩。 截面上的大部分弯矩。 对于标准工字钢梁：
§7-4 提高梁强度的主要措施
Mmax ≤[σ] 控制梁弯曲强度的主要因素是正应力 σmax = W Z 设计梁的原应使M 尽可能地小， 尽可能地大。 设计梁的原应使 max尽可能地小，使WZ尽可能地大。 一. 选择梁的结构并合理的布置载荷 1.选择不同形式的梁 选择不同形式的梁 q q
l
x
A C B
τ max =
Fs S
* Z max
IZ b
Fs = * b ( I Z / S Z max )
在翼板上： 在翼板上：
NI = ∫ * σⅠdA = ∫ M y dA A
A*
M NΙ = Iz
NII = ∫ *
A
M * Sz Iz (M + dM ) y (σ Ⅱ)dA = ∫ dA A Iz
Iz
可得： d ≥ 可得：
bh [ σ ] π [τ ]
Q′
∴ d min =
h 2 0
bh [ σ ] π [τ ]
h 2 0
讨论： 与何力平衡？ 讨论：Q′与何力平衡？ N = ∫ σ bdy = ∫
σ
M Mbh 2 ybdy = Iz 8I z
[ P]Lbh2 3 [ P]L bh[σ ] N= = = = Q′ 3 8(bh / 12) 2 h 4
x
MA =MC = MB
M 1 2 1 2 −1 2 1 − qx = q(l − 2x) − qx2 x = l M 2 8 2 2
0.125ql2
x = 0.207l l
• •
− 0.0214ql 2
•
0.0214ql 2
2.合理布置载荷
P
l 2
B
P
A
P
a
C
l 2
a
M
l
Pl / 4
a a/ 2 P / 2
A
4m
40kN
(+) (-)
B
d
-40kNHale Waihona Puke Baidu
ql 2 = 40kN ⋅ m 解： Fs max = 40kN, M max = 8 M max 由正应力强度条件： ≤ [σ ] 由正应力强度条件： σ max = Wz 40 × 10 3 即 ≤ 160 × 10 6 π d 3 / 32 q = 20kN/ m
2 x2 − 4 - x1)x2 + 3 ≥ 0 （
由M1≤[M]得x1 ≤0.75 得 解得 o.536≤x1≤0.746 一人立于右外伸端离右支座为o.537 0.746间另一人可安全通过 o.537间另一人可安全通过。 一人立于右外伸端离右支座为o.537-0.746间另一人可安全通过。 通过的人立于左外伸端离左支座为0.536-0.75之间后者再通过。 通过的人立于左外伸端离左支座为0.536-0.75之间后者再通过。 0.536 之间后者再通过
二.梁的合理截面
合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。 W要大同时 要小， 要大同时A要小 要大同时 要小， W/A最大为好。 最大为好
F
h b
z
b
z
h
a
βa (1 − β )a
a
a
a3 bh2 W W = 322 = 0.125 d W = 6 = 0.167a W = 0.27～0.31h = 6 = 0.167h A πd A a2 A A bh
NII
NI
My M M * =∫* dA = ydA = Sz NI = ∫ * σⅠdA A A Iz I z ∫A* Iz M + dM M + dM * (M + dM ) y NII = ∫ * (σ Ⅱ)dA = ∫ * dA = ∫A* ydA = I z S z A A Iz Iz
A*
A*
A*
M + dM * M * Sz − S z = τbd x N II − N I = τbd x 即： Iz Iz
* Sz d M τ= I zb d x
NI
NII
结论： 结论：
* Fs S z τ= I zb
二.矩形截面的剪应力
* Fs S Z τ= IZ b
bh 3 b h2 * 对于矩形I Z = , Sz = ( − y2 ) 12 2 4
得 d ≥137mm
A
4m
(+) (-)
B
d
由剪应力强度条件： 由剪应力强度条件：
4 Fs max τ max = ≤ [τ ] 3 A
即
40kN -40kN
4 40 ×103 × ≤ 100×106 2 3 πd / 4
得 d ≥ 261 mm .
所以 d min = 137 mm
[例7-10]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如 10]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如 图所示。若材料许用应力为[ 其许可载荷[ 为多少？ 图所示。若材料许用应力为[σ]，其许可载荷[F]为多少？如将 两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？ 两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[ 求螺栓的最小直径？ 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？ F
M
P/ 8 l
1 1 Pl − Pa 4 2
1 Pl − Pa 4
l 2
l a= l / 2 2
[例7-11]两人体重均 11]两人体重均800N，需借助跳板跨过沟。已知跳板的许可 两人体重均 ，需借助跳板跨过沟。 弯矩[M]=600N.m，若跳板不计重量，给出两人安全过沟办法？ 弯矩 ，若跳板不计重量，给出两人安全过沟办法？ 人单独通过， 解:人单独通过，行至离沟 边1米时，板最大弯矩达 米时， 600N.m。 600N.m。 F 两人过河， 两人过河，一个在右外伸端 F 距支座为x1处，一个在桥上 距支座为 行至x 处弯矩如图所示。 ，行至 2处弯矩如图所示。 B支座反力： RB = F(L − x1 − x2 ) / L 支座反力： 支座反力 最大弯矩 1=Fx1， M2=F(L-x1-x2) x2/L M ， 欲通过， 欲通过，要求 M1≤[M]，M2≤[M] 使上式恒成立， 使上式恒成立，则 (4−x1)2 −12≤ 0 x2 由此得 L x1
z τ
F
螺栓主要是受剪
τ ′ = τ = τ max
τ′
τ
3 Fs 3 F = = 2 A 2 bh
设梁达到了许用应力[ 设梁达到了许用应力[F]
3 [ F ] 3bh2[σ ] [σ ]h = = 中性轴处：τ ′ = τ max = 中性轴处： 2 bh 2bh × 6L 4L bh[σ ] 全梁中性层上的剪力： 全梁中性层上的剪力： Q ′ = τ ′ ⋅ bL = 4 Q ′ bh [σ ] / 4 由螺栓剪切强度条件： 由螺栓剪切强度条件： τ = A = π d 2 / 4 ≤ [τ ] 螺