中考数学专题 七探索问题复习课件

(2)y=
20x 13x 7x(0＜x 10) 1 2 ［ 20 13 0.1 x 10 ］x x 8x(10＜x＜50) 10 16x 13x 3x(x 50)
1 2 +8x配方得y= 1 (x-40)2+160， x 10 10 所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为 160
边形的什么决定的？
【解析】(1)连接BD. ∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线,
∴EH＝ 1 BD，且EH∥BD. 2 1 同理得FG＝ BD，且FG∥BD. 2 ∴EH＝FG，且EH∥FG. ∴四边形EFGH是平行四边形. (2)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 . (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的 .
求相应的值，再作存在性的判断.
规律探索问题
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等 一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这 类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细 致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出 一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用 .
1.(2010·湛江中考)观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝
81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，… ….通过
观察，用你所发现的规律确定32 (A)3 (B)9 (C)7 (D)1
002的个位数字是(
)
【解析】选B.经观察可知，3n的个位数字按照3、9、7、1；3、 9、7、1；3、9、7、1…的规律循环，而2 002÷4= 500……2，因此32
FP 2 DF2 32 42 5.
∴EP=DP,故此时平行四边形PDAE是菱形. 即以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形.
结论探索问题
结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数
学思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试
验、猜想、论证等方法求解.这类问题的解决特别强调数形结
合思想的运用.
【例3】(2010·蚌埠中考)已知如图1,⊙O过点D(3，4),点H与 点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A.
(1)求sin∠HAO的值；
(2)如图2，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的 动点(与点P不重合)，连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直 线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索
平行四边形；
(3)点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边 形能否构成菱形？试说明理由.
【解析】(1)3或8
(2)1或11
(3)能,理由如下:由(2)知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶 点的四边形是平行四边形, ∴EP=AD=5. 过D作DF⊥BC于F，∵∠C=45°,CD= 4 2 , ∴DF=FC=4， ∴EF=EC-FC=6-4=2, ∴FP=EP-EF=5-2=3， ∴DP=
7.(2011·菏泽中考)我市一家电子计算器专卖店每只进价13 元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1 只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20 只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元)，因此，所买
的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只
(2)动态探索问题通常与几何图形有关，给出相应的背景， 设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置关系或 数量关系，解题时应化动为静. (3)结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未知 的结论.解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推 理论证，最后作出正确的判断，切忌想当然的确定结论. (4)存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问 题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算
探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力,主
要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在
性探索问题. (1)规律探索问题通常考查数的变化规律，然后用代数式 表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值.解题时，要通 过观察、猜想、验证等步骤，应使所得到的规律具有普遍性， 只有这样才能应用与解题.
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(1)求该抛物线的表达式； (2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的 四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.
1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 . 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
答案： n 1
1 (n 1)
动态探索问题
动态探索问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元素 的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、 面积关系、函数关系等.在解决动态问题时，要抓住不变的量， 找出其中的规律,同时还应该考虑到，当动态元素去某一位置 时，“动”则变为“静”，从而化动为静.
2 n n 1 2 【解析】通过探索规律可得 Sn ［ ］, 所以 Sn n n 1
n2 n 1 3 7 13 n2 n 1 ，所以S n n 1 2 6 12 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 n n 1 1 1 1 1 2 6 12 n n 1
16元.
(1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买?
(2)写出该专卖店当一次销售x(只)，所获利润y(元)与x(只)
之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获 得的利润最大？其最大利润为多少？
【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有： 0.1(x-10)=20-16，解这个方程得x=50; 答：一次至少买50只，才能以最低价购买.
(2)结合正方形的判定方法以及题目的已知条件，探索当点 P 运动到何处时，满足正方形的条件 .
【自主解答】(1)连接AD. ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点, ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B. 又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD.
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ.
∵∠BDP+∠ADP=90°,
1 3 5 7 9 …,请观 【例1】(2010·铁岭中考)有一组数： , , , , , 2 5 10 17 26 察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n(n为正整数)个
数为_______.
【思路点拨】
【自主解答】经观察发现，分子是连续的奇数，即2n-1,分母
是序数的平方加1，即n2+1，因此第n个数为 2n 1 . n2 1 答案： 2n 1 n2 1
因为△DEF为等腰三角形，DM⊥EF，
所以DN平分∠BDC,
所以 BN CN， 所以OT⊥BC，
所以∠CGO+∠GOT=∠GOT+∠MNO=90°,
所以∠CGO =∠MNO,
OM 3 . ON 5 即当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合)，sin∠CGO的值不
所以sin∠CGO =sin∠MNO= 变.
6.(2010·青海中考) 观察探究，完成证明和填空. 如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、 DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点 四边形.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是
5.(2010·河南中考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的 中点，AD=5，BC=12，CD= 4 2 ，∠C=45°，点P是BC边上一动 点，设PB的长为x. (1)当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为 直角梯形； (2)当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°.
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形, 由(1)知△ABD为等腰直角三角形, 当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°.
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形.
1 AB, 2 ∴四边形APDQ为正方形.
(3)将y= 元.(也可用公式法求得)
存在性探索问题
存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题， 这类题目的一般解题规律是：假设存在→推理论证→得出结 论.若能推导出合理的结论，就作出“存在” 的判断，若推 导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出
“不存在”的判断.
【例4】(2010·陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物 线过A(-1,0)，B(3,0),C(0，-1)三点.
=∠MNO，而sin∠MNO的值不变.
【自主解答】(1)如图所示：连接OH,过点H作HP⊥y轴于点P， 则根据题意可知OP=4,PH=3,则OH=5.
∵AH为⊙O的切线,∴OH⊥AH.
又∵∠AOP=90°,∴∠HAO=∠HOP.
3 因此sin∠HAO=sin∠HOP= . 5
(2)当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合)，sin∠CGO的值 不变. 过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N， 连接ON，交BC于点T.
又∵DP=AP=
4.(2011·益阳中考)如图，小红居住的小区内有一条笔直的
小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由 A处径直走到B处， 她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图 象刻画出来，大致图象是( )
【解析】选C.小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影 长l先变短再变长，只有选项C符合这一变化过程.
002的个位数字是9.
2.(2011·山西中考)如图是用相同长度的小棒摆成的一组有 规律的图案，图案(1)需要4根棒，图案(2)需要10根小棒……，
按此规律摆下去，第n个图案需要小棒_____根(用含有n的代
数式表示).
【解析】本题考查的是规律探索题目，可以结合图形从不同 方向研究其变化规律.如从第二个图形开始，图案都是由两层 构成，上面的层数共有4n个小棒，下面小菱形个数比上面少 一个，每个小菱形只需再加2根小棒，即下层共需2(n-1)根， 所以第n个图案需要4n+2(n-1),即(6n-2)根小棒. 答案：(6n-2)
3.(2011·成都中考)设 S 1 1 1 ,S 1 1 1 , 1 2 12 22 22 32 1 1 1 1 S3 1 2 2 ,,Sn 1 2 ，设S S1 S2 2 3 4 n n 1 则S=______(用含n的代数式表示，其中n为正整数). Sn ,
【例2】(2010·泰安中考)如图，△ABC是等腰直角三角形， ∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，
D是BC的中点.
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明
理由.
【思路点拨】(1)利用三角形全等证明PD=QD和∠PDQ=90°.
菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_____； 当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是___________； 当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是___________；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_________；
(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四
sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由.
【思路点拨】(1)连接OH, 过点H作HP⊥y轴于点P，构造直角 三角形，利用勾股定理求出线段的长，然后利用等角，求出 sin∠HAO的值.
(2)过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于
T，利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性，证明∠CGO