文档：怎样利用垂径定理进行证明或计算

怎样利用垂径定理进行证明或计算?

垂径定理及其推论中的三要素是：垂直、平分、过圆心（直径）•它们在圆内常常构成角相等、等分线段、直角三角形等.从而可应用勾股定理或解直角三角形的方法进行其证明或计算•下面举例说明.

例1已知：图1的中弦AB=12 0M垂直AB于M，OM=6求：（1）/ AOB的度数；⑵ O 0的半径.

團1

解：连结OA 0B因为0M垂直AB于M所以

AM — BM —丄 AB = 6.

2

因为0M=6 所以/ A0MM0AM=4° .

同理 / 0BM/ B0M=4° ,

所以/ A0B的度数为90°.

在直角△血OM孔OA = + OM3 = 6忑・由此可以求岀OEK血厘米.

答：ZAOB = 90fl f5）0的半径为6庞.

利用直角三角形的边角关系得出结论.

例2已知：图2中，AB是。0的直径，弦CD在AB同一侧，CEL CD于E, DF丄CD于F.求

分析：此题是圆和直角梯形，并且点0是AB的中点，由此联想梯形的中位线，作0G 垂直CD于G有垂径平分弦CG=D，利用平行线等分线段可得0E=0F因此AE=BF.

证明略.

例3如图3,半径为10厘米的O 0中，弦AB丄CD于E，AB=CD=1厘米，求0E的长.

图3

分析：要把0E纳入三角形或特殊四边形才利于计算•作0吐AB于F, OGLCD于G

容易证明四边形EGO为正方形，且AF=BF=CG=GD厘8米,那么OF

利用垂径垂直弦，构造直角三角形或特殊四边形，再进行推证和计算是本例的特点.

例4如图4所示，已知。0的半径为5厘米，A为。0外一点，ACB交O 0于C和B,若

A0=8厘米，/ OAB=30 .求AC、BC的长.

分析：利用垂径是经过圆心的直径，构造直角三角形•作ODL BC于D,连结0B得直角三

厘氷贝IJOD = 4厘氷，AD=473ffiX;在直角三角形BOD中，OB = 5JE^, OD=4厘氷贝厘胳又KD = DC = 3厘氷故％C = “-3厘氷，BC = 6厘氷角形AODffi直角三角形BOD 在直角三角形AOD中, / OAB=30 ,

将垂径定理与勾股定理结合起来，容易得到圆中半径R、弓形高h、弦长d（图5）之间

的关系：

1C

h

U 5

根据此公式，R、h、d这三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量.