3.3垂径定理

B D
A O C
B
D
有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。
若⊙O中弦AB∥CD。 ⌒ ⌒ 那么AC＝BD吗？为什 么？ 解：AC＝BD，理由是：
M
A
C .O
D B
N 。 作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD ⌒DM（垂直于弦的直径 ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝ 平分弦所对的弧） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵AM－CM ＝ BM －DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
图中两圆为同心圆 变式1：AC与BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成立吗
A C
O
O A C M N D B
D
B
变式3：隐去（变式1）中的大圆，得 右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD 有什么关系？为什么？
O
O
变式4：隐去（变式1）中的小 圆，得右图，连接OC，OD，设 OC=OD，AC、BD有什么关系？为 什么？
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． 证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
E
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
·
D
B
O
⌒ 在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，
5 3cm 那么弦AB的弦心距是____
O D A B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
双基训练 4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
O B
5.已知点P是半径为5的⊙O内 的一定点，且OP=4，则过P 点的所有弦中，弦长可能取 A 的整数值为（ C ）
A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
A
B
双基训练 半径 圆心 和———— 1.确定一个圆的条件是———— 2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C ) A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
3.下列说法中正确的个数是（ B ） ①.直径是弦 ②.半圆是弧 ③.平分弦的直径垂直于弦 ④.圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C M N
H
A
E
D
F B
O
随堂训练
8．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m， 假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的 影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶 时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由， 如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那 N 么学校受影响的时间为多少秒？
B
百度文库
常见辅助线： 涉及求半径、弦、弦心距、弓形高的计算时，连 接作弦心距，连接半径，构造直角三角形，利用 C 垂径定理和勾股定理解决。
2 r
2 =d +(
a
2
2 )
A
r
a 2
d
O B
E
d+h=r
半弦半径弦心距，勾股定理来解题
h
D
达标检测 1、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程， 某圆柱型水管截面如图所示，管内水面AB=8dm 。 2 ①若水管截面半径5dm，污水最大深度为_____dm 8.5 ②若水深1dm，则水管截面半径为____dm. 变式：为改善市民生活环境， 市建设污水管网工程，某圆柱 型水管截面管内水面宽AB=8dm， 2或 8 截面半径为5dm，水深____dm.
A
E O· B D
A、∠COE=∠DOE
B、CE=DE C、OE=AE D、BD=BC
⌒ ⌒
C
1、如图，OE⊥AB于E，若弦AB=16cm, OE=6cm, 则⊙O的半径是 10 cm。
2、在⊙O中，弦AB的长为8cm， ⊙O的半径为5cm，
则圆心O到AB的距离是
3 cm 。
A
E
O·
3、如图，OE⊥AB于E，若⊙O 的半径为13cm,OE=5cm, 则AB= 24 cm。
C
A
M└
●
B
O
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
D
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
C
判断下列图形，能否使用垂径定理？
（不是直径）的直径垂直于弦， 平分弦 并且平分弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？ CD⊥AB CD为直径 C ⌒ ⌒ 条件 结论AC=BC AE=BE ⌒ ⌒ AD=BD
D Ｏ ·
E D
A
·
(E)
Ｏ
B C
A
B
垂径定理的推论
⌒ ⌒ ⌒= ⌒ ② CD⊥AB, ① CD是直径, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD BD.
30 M P A Q
C
C
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.
( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. (
√
)(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是（ C）
.
例题选讲
3.如图是一个圆形瓷片的残片，你能找到它的圆 心吗？（保留作图痕迹）
B
A
思维拓展
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
C
D
B
A
C
D
B
1、在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD， 弦AB和CD的距离为4，若AB=8， 求CD的长。
例题选讲 例2、已知⊙O的直径为10cm， ⊙O的两条平行 弦AB=8cm，CD=6cm，则AB、CD间的距离为 __________．
链接中考 7.（2007.江西）如图，点A、B是⊙O上两点， AB=10，点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重 合），连接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E， 5 。 OF⊥PB于F，则EF= ——
O A E P B F
运用三、垂径定理作图 1、M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过 点M.并且AM=BM. A 解：连接OM,过M作AB⊥OM，
交⊙O于A，B两点. M ●O
●
B
2.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o 的半径是3cm ，则过P点的最长的弦等于 最短的弦等于_________。
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
D
如图， AB是⊙O的一条弦，作直径 CD，使 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并 （ ）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的 CD1 ⊥ AB，垂足为E . 平分弦所对的两条弧． 对称轴是什么？ （ 2）你能发现图中有哪些相等的线段和 C 弧？为什么？
垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒⌒ ∴AE=BE， AC=BC， AD=BD．
A
·
O E D B
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径、弦心 距等过圆心的直线或线段。从而得到 垂径定理的变式： • 一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推 得
平分弦 平分优弧 平分劣弧
垂径定理的推论:
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（X ）
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径 的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？
O A B
2：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
37.4
C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
2 2 2
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA AD OD , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条 弦所夹的弧相等吗？为什么？
O A C O D B A C