5多自由度系统振动解析
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2
k 2k k
0 k 3k
3k m 2 k 0
3 1 0
k 2k m 2 k
1
1 k 2 0 3k m 2 3 0
(K M ) φ 0
X φ f (t )
常数列向量 运动规律的时间函数
X Rn φ Rn f (t ) R1
X [ x1
x2 xn ]T
φ [1 2 n ]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
KX 0 MX
T
X φf (t )
X Rn
φ Rn
代入，并左乘 φ ：
k1n 2 m1n k 2 n 2 m2 n k nn 2 mnn
0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
k11 2 m11 k 21 2 m21 k n1 2 mn1
k12 2 m12 k 22 2 m22 k n 2 2 mn 2
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率
• 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
(FM I ) φ 0
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
？
(K M ) φ 0
2
Kφ Mφ
2
1
2
Iφ K 1 Mφ 1 I) φ0
1/ 2
( FM
2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
（不生弹性变形 ）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
K 2M 0
2 1
0 1 0 1 2 3 3
m 2 k
1 1
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统
f(t ) 2 f (t ) 0
f (t ) a sin(t ), f (t ) at b,
主振动
0 0
只可能出现形如 X φa sin( t ) 的同步运动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动
（2）半正定系统 可能出现形如 X φa sin( t ) 的同步运动 也可能出现形如 X φ(at b) KX 0 MX 的同步运动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： 固有振动方程：
（自由振动方程）
KX P (t ) MX
KX 0 MX
X Rn
M、K R nn
P (t ) Rn
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动， 即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的 规律都相同的运动。 假设系统的运动为：
X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 wenku.baidu.com度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
k1n 2 m1n k 2 n 2 m2 n k nn 2 mnn
0
2n a1 2( n1) an1 2 an 0 频率方程
解出 n 个值，按升序排列为：
2 2 0 12 2 n
或特征多项式
i ：第 i 阶固有频率
1 ：基频
仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率 位移方程：
X FP (t ) FMX
X Rn
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
主振动： 代入，得： 解释：
X φsin( t )
φ [1 2 n ]T
X φsin( t )
2
φ 0 代入振动方程： ( K M )
φ 有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零
K 2M 0
特征方程
k11 2 m11 k 21 2 m21 k n1 2 mn1
k12 2 m12 k 22 2 m22 k n 2 2 mn 2
k 2k k
0 k 3k
3k m 2 k 0
3 1 0
k 2k m 2 k
1
1 k 2 0 3k m 2 3 0
(K M ) φ 0
X φ f (t )
常数列向量 运动规律的时间函数
X Rn φ Rn f (t ) R1
X [ x1
x2 xn ]T
φ [1 2 n ]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
KX 0 MX
T
X φf (t )
X Rn
φ Rn
代入，并左乘 φ ：
k1n 2 m1n k 2 n 2 m2 n k nn 2 mnn
0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
k11 2 m11 k 21 2 m21 k n1 2 mn1
k12 2 m12 k 22 2 m22 k n 2 2 mn 2
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率
• 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
(FM I ) φ 0
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
？
(K M ) φ 0
2
Kφ Mφ
2
1
2
Iφ K 1 Mφ 1 I) φ0
1/ 2
( FM
2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
（不生弹性变形 ）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
K 2M 0
2 1
0 1 0 1 2 3 3
m 2 k
1 1
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统
f(t ) 2 f (t ) 0
f (t ) a sin(t ), f (t ) at b,
主振动
0 0
只可能出现形如 X φa sin( t ) 的同步运动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动
（2）半正定系统 可能出现形如 X φa sin( t ) 的同步运动 也可能出现形如 X φ(at b) KX 0 MX 的同步运动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： 固有振动方程：
（自由振动方程）
KX P (t ) MX
KX 0 MX
X Rn
M、K R nn
P (t ) Rn
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动， 即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的 规律都相同的运动。 假设系统的运动为：
X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 wenku.baidu.com度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
k1n 2 m1n k 2 n 2 m2 n k nn 2 mnn
0
2n a1 2( n1) an1 2 an 0 频率方程
解出 n 个值，按升序排列为：
2 2 0 12 2 n
或特征多项式
i ：第 i 阶固有频率
1 ：基频
仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率 位移方程：
X FP (t ) FMX
X Rn
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
主振动： 代入，得： 解释：
X φsin( t )
φ [1 2 n ]T
X φsin( t )
2
φ 0 代入振动方程： ( K M )
φ 有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零
K 2M 0
特征方程
k11 2 m11 k 21 2 m21 k n1 2 mn1
k12 2 m12 k 22 2 m22 k n 2 2 mn 2