四川省树德中学2020-2021学年高一5月月考数学试题 答案和解析
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四川省树德中学【最新】高一5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（）
A． B． C． D．
2．已知数列 的通项公式 ，则 与 的等比中项为
A． B．9C． D．
3．下列命题正确的是
A．若 B．若 ，则有
C．若 D．若
4．两条平行直线 和 之间的距离为
A． B． C． D．4
5．在平面直角坐标系中，直线 被圆 所截得的弦长为
A． B． C． D．
6．如果满足条件 的 有且只有一个，则 的范围是
A． B．
C． 或 D．
7．设直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，则
A． B． C． D．
16．数列 满足 ，则 前 项的和______．
三、解答题
17．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
18．已知在 中， 分别是内角 的对边，满足 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，且三角形 的面积为8，求 的值．
19．△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为 ，角B的角平分线所在直线的方程为 ．
则有S1+S2+S3+…+S2017=1− + − + − +…+ −
=1− = .
故答案为： .
8．B
【解析】
由等比数列的性质可得： ， ， ， 也成等比数列，
所以（ ）2= ×（ ），得到: =70,同样易得
故选B.
9．B
【解析】
由题意可得a2+b2<r2，OM⊥m.
∵KOP= ,∴l1的斜率k1=− .
A． B． C． D．
12．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．直角坐标系下，过点 作圆 的切线方程为_________．
14．已知 ，则 的最大值为______．
15．如图，在圆内接四边形ABCD中，BC=1，CD=2，DA=3，AB=4，则四边形ABCD的面积为__________．
根据弧长公式知CA1,A1A2,A2A3…A3n−2A3n−1,A3n−1A3n的长度分别为： , ,…, ，
化简得： ,2× ,3× ,…,3n× ,此数列是 为首项 为公差,项数为3n的等差数列,则根据等差数列的求和公式得Sn=3n× + × =n(3n+1)π，此时n=1，易得所得螺旋线 的总长度 为 .
故直线l1的方程为y−b=− (x−a),即ax+by−(a2+b2)=0.
又直线l2的方程为bx−ay=r2,k= ,,故l1⊥l2，
圆心到直线l2的距离为 >r,故圆和直线l2相离．
故选B.
10．D
【解析】
依题意得，AC= ，sinA=sin( +α)=cosα= ．
sinB=sin( -2α)=cos2α=2cos2α-1= ，
8．已知数列 是等比数列，前n项和为 ，若 则
A．270B．150C．120D．80
9．已知圆 ，点 是圆 内一点，过点 的圆 的最短的弦在直线 上，直线 的方程为 ，那么
A． 且 与圆 相交B． 且 与圆 相离
C． 且 与圆 相离D． 且 与圆 相切
10．如图，在海岸线上相距 千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西 方向，在C的北偏西 方向，且 ，则BC之间的距离是
（Ⅰ）求BC所在的直线方程；
（Ⅱ）求 的外接圆方程（其中 为坐标原点）．
20．已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和 ．
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和为 ．
21．在直角坐标系 中，已知圆 及点 ．
（Ⅰ）从圆 外一点 向圆 引一条切线，切点为B，且 ，求 的最小值；
（Ⅱ）设点 满足：存在圆C上的两点 ，使得 ，求实数 的取值范围．
22．已知数列 满足 ， ， ，
又 ．
（Ⅰ）求证数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
（Ⅱ）若 的前 和为 ， ．
①判断并证明数列 的单调性；
②求证： ．
参考答案
1．D
【分析】
先由直线方程求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得答案
若ac>bc，c<0，则a<b，故C错误；
若 >0> ，则a>0>b，故D错误；
故选：B
4．A
【解析】
∵ 和 互相平行，∴ ，即m=-2或1，经检验：m=-2两直线重合，故m=1；两条平行直线 和 之间的距离d=
5．D
【解析】
圆 的圆心（3，1），半径r= ，故圆心到直线的距离d= ，故所求的弦长为 .
6．C
【解析】
由题意可得当ksin60∘=12或12⩾k时，满足三角形恰有一个，
解得k= =8 ，0<k⩽12，
故选：C.
7．A
【解析】
分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N∗)与两坐标轴的交点：
( ,0),(0, )，
则Sn= ⋅ ⋅ = = −
然后分别代入1，2，…，2017，
故选A
12．B
【分析】
将已知化为 ， ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
，
，
当且仅当 ，且 ，
即 时等号成立，
的最小值为 .
故选：B
【点睛】
在ΔABC中，由正弦定理得， =12．
则C与B的距离是12km．
点睛：解决测量角度问题的注意事项
(1)明确方位角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
11．A
【解析】
A． 千米B．30千米C． 千米D．12千米
11．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC是边长为1的正三角形，曲线 分别以A、B、C为圆心， 为半径画的弧，曲线 称为螺旋线，然后又以A为圆心， 为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线 的总长度 为
【详解】
解：由直线 得其斜率为 ，
设直线的倾斜角为 （ ），则 ，
所以 ，所以直线的倾斜角为 ，
故选：D
【点睛】
此题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题
2．C
【解析】
设 与 的等比中项为b，易得： ， .
∴ =72，∴Fra Baidu bibliotek=
3．B
【解析】
若 ，a，b为负数，则|a|>|b|，但a<b，故A错误；
若 ， ,故B正确；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（）
A． B． C． D．
2．已知数列 的通项公式 ，则 与 的等比中项为
A． B．9C． D．
3．下列命题正确的是
A．若 B．若 ，则有
C．若 D．若
4．两条平行直线 和 之间的距离为
A． B． C． D．4
5．在平面直角坐标系中，直线 被圆 所截得的弦长为
A． B． C． D．
6．如果满足条件 的 有且只有一个，则 的范围是
A． B．
C． 或 D．
7．设直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，则
A． B． C． D．
16．数列 满足 ，则 前 项的和______．
三、解答题
17．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
18．已知在 中， 分别是内角 的对边，满足 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，且三角形 的面积为8，求 的值．
19．△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为 ，角B的角平分线所在直线的方程为 ．
则有S1+S2+S3+…+S2017=1− + − + − +…+ −
=1− = .
故答案为： .
8．B
【解析】
由等比数列的性质可得： ， ， ， 也成等比数列，
所以（ ）2= ×（ ），得到: =70,同样易得
故选B.
9．B
【解析】
由题意可得a2+b2<r2，OM⊥m.
∵KOP= ,∴l1的斜率k1=− .
A． B． C． D．
12．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．直角坐标系下，过点 作圆 的切线方程为_________．
14．已知 ，则 的最大值为______．
15．如图，在圆内接四边形ABCD中，BC=1，CD=2，DA=3，AB=4，则四边形ABCD的面积为__________．
根据弧长公式知CA1,A1A2,A2A3…A3n−2A3n−1,A3n−1A3n的长度分别为： , ,…, ，
化简得： ,2× ,3× ,…,3n× ,此数列是 为首项 为公差,项数为3n的等差数列,则根据等差数列的求和公式得Sn=3n× + × =n(3n+1)π，此时n=1，易得所得螺旋线 的总长度 为 .
故直线l1的方程为y−b=− (x−a),即ax+by−(a2+b2)=0.
又直线l2的方程为bx−ay=r2,k= ,,故l1⊥l2，
圆心到直线l2的距离为 >r,故圆和直线l2相离．
故选B.
10．D
【解析】
依题意得，AC= ，sinA=sin( +α)=cosα= ．
sinB=sin( -2α)=cos2α=2cos2α-1= ，
8．已知数列 是等比数列，前n项和为 ，若 则
A．270B．150C．120D．80
9．已知圆 ，点 是圆 内一点，过点 的圆 的最短的弦在直线 上，直线 的方程为 ，那么
A． 且 与圆 相交B． 且 与圆 相离
C． 且 与圆 相离D． 且 与圆 相切
10．如图，在海岸线上相距 千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西 方向，在C的北偏西 方向，且 ，则BC之间的距离是
（Ⅰ）求BC所在的直线方程；
（Ⅱ）求 的外接圆方程（其中 为坐标原点）．
20．已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和 ．
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和为 ．
21．在直角坐标系 中，已知圆 及点 ．
（Ⅰ）从圆 外一点 向圆 引一条切线，切点为B，且 ，求 的最小值；
（Ⅱ）设点 满足：存在圆C上的两点 ，使得 ，求实数 的取值范围．
22．已知数列 满足 ， ， ，
又 ．
（Ⅰ）求证数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
（Ⅱ）若 的前 和为 ， ．
①判断并证明数列 的单调性；
②求证： ．
参考答案
1．D
【分析】
先由直线方程求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得答案
若ac>bc，c<0，则a<b，故C错误；
若 >0> ，则a>0>b，故D错误；
故选：B
4．A
【解析】
∵ 和 互相平行，∴ ，即m=-2或1，经检验：m=-2两直线重合，故m=1；两条平行直线 和 之间的距离d=
5．D
【解析】
圆 的圆心（3，1），半径r= ，故圆心到直线的距离d= ，故所求的弦长为 .
6．C
【解析】
由题意可得当ksin60∘=12或12⩾k时，满足三角形恰有一个，
解得k= =8 ，0<k⩽12，
故选：C.
7．A
【解析】
分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N∗)与两坐标轴的交点：
( ,0),(0, )，
则Sn= ⋅ ⋅ = = −
然后分别代入1，2，…，2017，
故选A
12．B
【分析】
将已知化为 ， ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
，
，
当且仅当 ，且 ，
即 时等号成立，
的最小值为 .
故选：B
【点睛】
在ΔABC中，由正弦定理得， =12．
则C与B的距离是12km．
点睛：解决测量角度问题的注意事项
(1)明确方位角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
11．A
【解析】
A． 千米B．30千米C． 千米D．12千米
11．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC是边长为1的正三角形，曲线 分别以A、B、C为圆心， 为半径画的弧，曲线 称为螺旋线，然后又以A为圆心， 为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线 的总长度 为
【详解】
解：由直线 得其斜率为 ，
设直线的倾斜角为 （ ），则 ，
所以 ，所以直线的倾斜角为 ，
故选：D
【点睛】
此题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题
2．C
【解析】
设 与 的等比中项为b，易得： ， .
∴ =72，∴Fra Baidu bibliotek=
3．B
【解析】
若 ，a，b为负数，则|a|>|b|，但a<b，故A错误；
若 ， ,故B正确；