第一讲 电磁场基本方程

C
r 1 r r E ( r ) ⋅ dS =
r ρ (r )dV
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径
20
1.3 真空中恒定磁场的基本规律 1.3.1 安培力定律 磁感应强度 1. 安培力定律 安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 1821～ 1825年之间，设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电 流相互作用力公式，称为安培力定律。 z C1 r C2 实验表明，真空中的载流回路C1对
q3 q2 q1 q4 q q7 q6 q5
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2. 电场强度
r 电场强度矢量 E —— 描述电场分布的基本物理量
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称 试验电荷）受到的作用力，即 r r r r F (r ) q0 ——试验正电荷 E (r ) = lim q0 → 0 q 0 根据上述定义，真空中静止点 z q 电荷q 激发的电场为： r ′ r r r r r r r qR E (r ) = ( R = r − r ′) 3 4πε0 R o 如果电荷是连续分布呢？
z
r r′
q
r r r ρ ( r ) = qδ ( r − r ′)
o x
y
11
1.1.2
电流与电流密度 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
i = lim ( Δq Δt ) = dq dt
Δt → 0
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：
单位: A （安培） 电流方向: 正电荷的流动方向 形成电流的条件： • • 存在可以自由移动的电荷 存在电场
y
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r 2、磁感应强度 B
电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理 r 量是磁感应强度 B ，单位为T（特斯拉）。 磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用，载流回路 C1 对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回 路 C2中的电流 I2 的作用力。 根据安培力定律，有
r r r μ0 r I1dl1 × R12 F12 = ∫ I 2 dl2 × ( )= 3 ∫ C2 C 4π 1 R12
r r r r μ0 I1dl1 × R12 B1 (r2 ) = 3 4π ∫ C1 R12
∫
C2
r r r I 2 dl2 × B1 (r2 )
其中
r 电流I1在电流元 I 2 dl2处 产生的磁感应强度
高等工程电磁场理论
徐金平 教授； 郝张成 教授； 张 彦 博士 东南大学毫米波国家重点实验室
参考书籍：
1. R.F. Harrington: Time-Harmonic Electromagnetic Fields; IEEE
Press Series on Electromagnetic Wave Theory;
z
q1 r r1
r R12 q2
r r q1q2 R12 r q1q2 = F12 = eR 2 3 4πε 0 R12 4πε 0 R12
r r2
r F12
o x
y
• 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比； • 方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引； r r • F21 = − F12 ，满足牛顿第三定律。
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任意电流回路C产生的磁场感应强度 r r r r r μ0 Idl ′ × (r − r ′) μ0 B(r ) = = r r 3 ∫ C 4π 4π r − r′
r 电流元 Idl ′产生的磁场感应强度 r r r r r μ0 Idl ′ × (r − r ′) dB (r ) = r r 3 4π r − r′
r r Idl ′ × R ∫C R3
z
C
体电流产生的磁场感应强度 r r r r r μ 0 J (r ′) × R B(r ) = dV ′ 3 ∫ 4π V R 面电流产生的磁场感应强度 r r r r r μ 0 J S (r ′) × R B(r ) = dS ′ 3 ∫ S 4π R
r r′
S
r J
r r I = ∫ J ⋅ dS
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2. 面电流 电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称 r 为面电流，用面电流密度矢量 J S 来描述其分布
r en
r et
d 0
r JS
r r Δi r d i = et J S = et lim Δl → 0 Δ l dl
单位：A/m。
r Idl ′
o x
r M Rr r y
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1.3.2 恒定磁场的散度和旋度 1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理 恒定场的散度（微分形式） r r ∇ • B (r ) = 0 磁通连续性原理（积分形式） r r r ∫ B(r ) ⋅ dS = 0
2. 王一平： 工程电动力学；西安电子科技大学出版； 3. 徐金平：高等工程电磁场理论讲义； 4. Robert E. Collin Field Theory of Guided Waves ； Wiley-IEEE Press
考试：
平时 + 期末
先修课程
高等数学 大学物理 矢量分析与场论 线性代数 积分变换 复变函数 数理方程与特殊函数
说明：电流通常时时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
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一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不 同的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流 的分别状态。 1. 体电流 电荷在某一体积内定向运动所形
ΔS
r en
成的电流称为体电流，用电流密度矢 r 量 J 来描述。 体电流密度矢量 r r Δi r d i = en J = en lim ΔS → 0 Δ S dS 单位：A/m2 。 正电荷运动的方向 流过任意曲面S 的电流为
单位: C/m2 (库仑/米2) 如果已知某空间曲面S上的电荷 面密度，则该曲面上的总电量q 为
z
ΔS Δq S r r
o x
y
q=∫
S
r ρ s (r )dS
9
3. 电荷线密度 在电荷分布在细线上的情况，当仅考虑细线外，距细线的 距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的 电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。
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• 电场力服从叠加原理
r r r 真空中的N个点电荷 q1、q2、 （分别位于 r1、r2、 L、qN L、rN） r 对点电荷 q （位于 r）的作用力为 N N r r r r r r qqi Fq = ∑ Fqi q = ∑ Ri ( Ri = r − ri ) 3 i =1 i =1 4πε 0 Ri
r
M
o x
线密度为 ρ l ( r ) 的线分布 电荷的电场强度
y
r 面密度为 ρ S ( r ) 的面分布
电荷的电场强度
rFra Baidu bibliotek
r r E (r ) =
1 4πε 0
∫
S
r r ρ S (r ′)R dS ′ 3 R
r r E (r ) =
1 4πε 0
∫
C
r r ρl (r ′)R dl ′ 3 R
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流出闭曲面S的电流 等于体积V内单位时 间所减少的电荷量
∫
V
ρ dV
∂ρ =0 ∂t
恒定电流是无源场，电 流线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点
r r r ∇ • J = 0、 ∫SJ ⋅ dS = 0
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1.2 真空中静电场的基本规律 静电场：由静止电荷产生的电场 重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用 1.2.1. 库仑定律 电场强度 1. 库仑（Coulomb）定律(1785年) 真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
V
y
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2. 电荷面密度 若电荷分布在薄层上的情况，当仅考虑薄层外，距薄层的 距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层 内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面 分布的电荷可用电荷面密度表示。
r r Δq ( r ) d q ( r ) r = ρ S (r ) = lim ΔS → 0 ΔS dS
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理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷 1. 电荷体密度 电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布 r r Δq ( r ) d q ( r ) r = ρ ( r ) = lim Δ V → 0 ΔV dV z Δq 单位：C/m3 (库仑/米3 ) ΔV 根据电荷密度的定义，如果已知 r V r 某空间区域V中的电荷体密度，则区 o 域V中的总电量q为 x r q = ∫ ρ (r )dV
1.2.2 静电场的散度与旋度 1. 静电场散度与高斯定理 静电场的散度（微分形式）
r r r ρ (r ) ∇ • E (r ) =
静电场的高斯定理（积分形式）
∫S ε0 ε 0 ∫V 高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止
于负电荷。 2. 静电场旋度与环路定理 静电场的旋度（微分形式） r r ∇ × E (r ) = 0 无关。 静电场的环路定理（积分形式） r r r ∫ E (r ) ⋅ dl = 0
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1 电荷守恒定律
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。 源量为电荷q ( r′，t )和电流 I ( r′，t )，分别用来描述产生电 磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。
电荷
（运动）
电流
电场
磁场
6
1.1.1 电荷与电荷密度 • 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了 电子。 • 1907 － 1913 年间，美国科学家密立根 (R.A.Miliken) 通过 油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 33×10-19 (单位：C) 确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量， 而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。 • 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故 可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
x
r R M r E r r y
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r 体密度为ρ ( r ) 的体分布电荷产生的电场强度
r r r r ρ (ri′)ΔVi ′Ri E (r ) = ∑ 4πε 0 Ri3 i =1 r r 1 ρ (r ′)R dV ′ = 3 ∫ 4πε 0 V R
小体积元中的电荷产生的电场
z
ΔVi′ V r r ρ (r ′) r r′
r r r Δq(r ) dq(r ) = Δl dl
ρ l (r ) = lim
Δl →0
单位: C/m (库仑/米) 如果已知某空间曲线上的电荷线 密度，则该曲线上的总电量q 为
z
r r
Δq
Δl
q=∫
C
r ρl (r )dl
o x
y
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4. 点电荷 对于总电量为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分 析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算 电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电 荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域 中心、电量为 q 的点电荷。 点电荷的电荷密度表示
Δl
h→0
面电流密度矢量
r 通过薄导体层上任意有向曲线 l 的电流为
i=∫
l
正电荷运动的方向
r r r J S • (en × dl )
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1.1.3. 电荷守恒定律（电流连续性方程） 电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。 电流连续性方程 r r dq d 积分形式 ∫ J ⋅ dS = − =− S dt dt r ∂ρ 微分形式 ∇ • J = − ∂t 恒定电流的连续性方程
基础知识
矢量分析与场论 静态电磁场： 静电场 恒定电场 恒定磁场 时变电磁场与Maxwell方程 电磁波的传播、反射与折射 导波与谐振
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第一章 电磁场基本方程
1. 电荷守恒定律 2. 真空中静电场的基本规律 3. 真空中恒定磁场的基本规律 4. 媒质的电磁特性 5. 电磁感应定律 6. 位移电流 7. 麦克斯韦方程组 8. 电磁场的边界条件
r r r r μ0 I 2 dl2 × ( I1dl1 × R12 ) F12 = 3 4π ∫ C2 ∫ C1 R12 o • 载流回路C2对载流回路C1的作用力 x r r F21 = − F12 安培力定律 满足牛顿第三定律
载流回路C2的作用力
r r1
I1dl1
r R12 r r2
r I 2 dl2