第二章 导数与微分 习题课

;
函数 f ( x ) 在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右 导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
（常数和基本初等函数的导数公式） 2、基本导数公式
( C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec
2
1 ( x ) x
,
y u
2(1 u )
2
2

1
4 u1
(

u1
)

2x x
2
4
,
u ( 1 x ) x
y x 1
x 1 x
2
,
(2 x x ) 1 x
3
2
.
(4) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x )
v( x)
的情形.
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
x (t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y (t )
x x0 x x0
或df ( x 0 ), 即
A x .
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
6、导数与微分的关系
定理 函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数f ( x )
在点x 0 处可导, 且 A f ( x 0 ).
7、 微分的求法
dy f ( x )dx
求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.
基本初等函数的微分公式
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec xdx
2
d ( x ) x

1
dx
d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc xdx
2
2 2
f ( x x ) f ( x ) x
2
x 0
,
记作
f ( x ), y ,
或
d f ( x) dx
2
.
f ( x ), y , d y dx
3 3
二阶导数的导数称为三阶导数,
.
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数, 记作
x x0 0
lim
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
x 0
;
2.右导数:
f ( x 0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) x x0
x x0 0
lim
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
x 0
第二章 导数与微分
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习
题
课
一、主要内容
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
导
lim
数
y x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微 分
dy y x
x 0
求 导 法 则
1、导数的定义
定义 设函数y f ( x )在点x 0的某个邻域内有定义,
dy dt ( t ) ; dx dx ( t ) dy dt
d y dx
2
2

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )
3
.
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x )) lim
d y dx
d (sec x ) sec x tan xdx
d ( a ) a ln adx
x x
d (csc x ) csc x cot xdx
d ( e ) e dx
x x
d (log a x )
1 x ln a
dx 1 1 x 1
2
d (ln x ) dx
1 x
dx 1 1 x 1 1 x
当自变量x在x 0 处取得增量x (点x 0 x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量y f ( x 0 x ) f ( x 0 ); 如果y与x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点x 0 处可导, 并称这个极限为函数y f ( x ) 在点x 0 处的导数, 记为y
x x0
,
dy dx
x x0
或
df ( x ) dx
x x0
,即
y
x x0
lim
y x
x 0
lim
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
x 0
.
单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) x x0
2 2
d (arcsin x ) d (arctan x )
d (arccos x ) d (arc cot x )
dx
1 x
2
dx
dx
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu d( ) v u vdu udv v
v u u v uv v
2
( v 0) .
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y )的反函数为y f ( x ), 则有 f ( x ) 1
( x )
.
(3) 复合函数的求导法则
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数y f [( x )]的导数为 dy du dx du dx dy 或 y ( x ) f ( u) ( x ).
x 0
lim( x 1)( x 2)( x 100)
x 0
100!
例2 设 y arctan 1 x ln
2
1
1
1 x 1
2
2 求 y .
4
1 x 1
2
,
解
设u
1
1 x ,
2
则y
1 1
1 2
arctan u
1 1 u
4
1 4
ln
u1 u1 1
(cos x ) sin x
Baidu Nhomakorabea
x
(cot x ) csc x
2
(sec x ) sec xtgx ( a ) a
x x
(csc x ) csc xctgx
x x ( e ) e
ln a 1 x ln a 1 1 x 1 1 x
2 2
(log a x )
f
( n)
( x ), y
( n)
,
d y dx
n
n
或
d f ( x) dx
n
n
.
5、微分的定义
定义 设函数y f ( x )在某区间内有定义, x 0 及x 0 x
在这区间内, 如果 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x ) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数y f ( x ) 在点x 0 可微 , 并且称A x为函数y f ( x )在点x 0 相应 于自变量增量x的微分, 记作dy dy
(ln x )
1 x 1 1 x 1 1 x
2 2
(arcsin x ) (arctan x )
(arccos x ) (arccot x )
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1） ( u v ) u v , （2） (cu) cu ( c 是常数), （3） ( uv ) uv uv , （4） ( )
2
微分形式的不变性
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是
dy f ( x )dx
二、典型例题
例1 设 f ( x ) x ( x 1)( x 2)( x 100),
求 f ( 0).
f ( x ) f ( 0) x0
解
f (0) lim