北师大八年级下第二章分解因式的复习教案

第二章 分解因式的复习
一、分解因式的概念 （一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（和差化积）
易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的右边）是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。

（二）例：
1、计算下列各式：(1)()a b (a b)+－ = ___ _ ___. (2)()2
a b + = ___ _ ___.
(3)()8y y 1+ = ___ _ ___. (4)()a x y 1++ = ___ _ ___.
根据上述算式填空：(5)ax ay a ++ =( )( ) (6)22a b － =( )( )
(7)22a 2ab b ++ =( )( ) (8)28y 8y + =( )( )
小结：(1)～(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)～(8)的过程就叫分解因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。

2、下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（ ）
A 、
22))((b a b a b a -=-+
B 、
)1(4))((4422-+-+=-+-y y x y x y y x
C
、
2
2)1(1)(2)(-+=++-+b a b a b a D 、
)45(452x
x x x x +
+=++ 分析：等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子）；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 [ 即不能出现分式（分母含字母的式子）和加减号 ]，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。

A 、是积化和差，右边是减式；B 、右边是和式；D 、右边含有分式
4
x
，故选C 。

3、下列由左到右的变形，属分解因式的是（ ）
A 、3
3
55y x xy ⨯⨯= B 、()()
4221644x x x -=+-
C 、)54(542
2b a ab ab ab b a -=+- D 、)54)(12(8
1
85472
++=++
x x x x 分析：A 、左边是单项式，不是多项式；B 、分解不彻底，右边结果的分式()
24x -还能
再被分解为()()22x x +-，正确的结果是()
()()4216422x x x x -=++-，C 、结果应当是
)154(+-b a ab ，故选D 。

4、已知关于x 的二次三项式n mx x ++2
3分解因式的结果为)1)(23(-+x x ,求m ，n 的值。

解：∵n mx x x x x x ++=-+=-+22323)1)(23(
∴1, 2m n ==-
5、甲、乙两个同学分解因式n mx x ++2
，甲看错了n ，分解结果为()()26x x ++；乙
看错了n ，分解结果为()()116x x --；请你分析一下m 、n 的值，并写出正确的分解过程。

解：∵()()2226812x x x x x mx n ++=++=++ ∴8m =；
又∵()()221161716x x x x x mx n --=-+=++ ∴16n =； 故正确的分解过程为：()2
28164x x x ++=+
6、k 为何值时，多项式k x x +-62
有一个因式是3x +？
解：设另一个因式为x m +则：
()()()223336x m x x m x m x x k ++=+++=-+
故有：()36m ++=-，即，9m =- 故：327k m ==-
7、已知3210x x x +++=，求2341x x x x ++++的值。

解：∵ 3210x x x +++=，∴ 4320x x x x +++= （由已知等式的两边同时乘以x 得到） 故：2341101x x x x ++++=+=
8、已知210x x --=，求3222008x x -++的值。

解：∵210x x --=，∴ 21x x -=
()()()32222 22008 22008 2008
12008 2008
12008 2009
x x x x x x x x x x x x x -++=--+=---+=--+=-+=+=故：
9、求证814255-能被24整除。

解：因为 ()
()8
8142
141614142142555555551524-=-=-=-=⨯；所以，814255-能
被24整除。

10、试说明，一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，则新数字与原数之差能被99整除。

解：这原三位为：100a+10b+c ，依题意，得：
()()()100c+10b+a 100a+10b+c 100c+10b+a 100a 10b c=99c 9999a c a -=----=-
故原命题成立。

（三）练习
1、下列由左到右的变形,属分解因式的是( )
A 、)(112
x x x
x -=
- B 、4)4(442++=++x x x x C 、ay ax y x a +=+)( D 、)12(55102-=-x x x x
2、若多项式12
--ax x 可以分解为))(2(b x x +-，则b a +的值为
二、提公因式法分解因式
（一）公因式：①系数取最大公约数；②相同字母取最低次幂。

（二）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数（取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幂为准）。

例：分解因式 ① )1(22
+=++a a a a n n n ② ()
1333322+-=+-x x x x ③
()bc
a a
b
c ab b a 32412822323-=- ④
(
)
b a b a ab ab b a b a +--=-+-322264222233
⑤ ))(()()(b a y x y x b y x a +-=-+- ⑥ )2()()2()(2
2b a x y b a y x --+--
⑦)2()()2()(2
2
b a x y b a y x --+-- ⑧ b a b a --+2
)(
（三）练习：分解因式
⑪2
2
)()(x y y y x x --- ⑫ 2
3
)(12)(18a b b b a ---
⑬2)())((y x x y x y x x +--+ ⑭)2(3)32)(2(b a a b a b a +--+
⑮5
24
33
4693b a b a b a ++- ⑯32)(21)(7y x y y x xy +-+
（四）作业：分解因式
⑪ab c ab b a 41283
2
3
-+- ⑫33)(10)(5a b y b a x ---
⑬))(())((q p m n n p q n m m ----- ⑭d c b c b d y d c b x +------+)()(
(五)、习题 1、a
＝47，b ＝32，c ＝21，求
))(())(())((a c b c b a c b a c b a c b a c b a -+++++-+++-+++的值。

2、已知a ＋b ＝13，ab ＝40，求2
2
ab b a +的值。

3、已知6,25)(2
==-ab b a ，求代数式618632
2
++-b ab b a 的值。

4、不解方程组 ，求32)3(2)3(7x y y x y ---的值。

5、利用因式分解说明199819992000
310343⨯+⨯-能被7整除。

6、已知2062
-+mx x 可分解因式为)52)(43(-+x x ，求m 的值。

7、计算20001999)21
()21(-+-的结果为（ ） A 、 2000)21(- B 、 2000)21(- C 、 21 D 、 2
1
-
8、分解因式101102
)2()
2(-+-＝ 。

三、运用公式分解因式
（一）（1）平方差公式：))((2
2
b a b a b a -+=-
特点：左边：①有二项；②符号相反；③两项均为完全平方项。

右边：左边平方项底数的和与差的积。

例、①()()2222n m m n m n m n -+=-=+-
②()
()()22111ab a a b a b b -=-=+-
③()2
22
2111193334222m n m n m n m n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（2）完全平方公式：2
22)(2b a b ab a ±=+±
136
2=-=+y
x y x
特点：左边：①有三项；②有两项分别是两个数的完全平方，且符号相同；③有一项是平方项底数的积的2倍。

右边：是左边平方项底数的和或差的平方。

例、④4224817216m m n n -+
()()()()()()()
2
2
2
2
2
2
222222929449432323232m m n n m n m n m n m n m n =-⨯⨯+=-=⎡+-⎤=+-⎣⎦
⑤22224()12()9()a b a b a b +--+-
()[]()()
222
224()12()9()2()3()223353a b a b a b a b a b a b a b a b b a =+-+-+-=+--=+-+=-
⑥222222()4242()a b ab a ab b ab a ab b a b +-=++-=-+=- ⑦[]2
222()4(1)()4()4()2(2)a b a b a b a b a b a b +-+-=+-++=+-=+- ⑧
()()22
222224224224224222()4242()a b a b a a b b a b a a b b a b a b a b +-=++-=-+=-=+-
⑨()()()()2
2
2
2222212111x xy y x y x y x y x y x y ++--+=+-++=⎡++⎤=++⎣⎦
(二)其他方法，参考附页提高篇部分。

(三)练习：
①2
2
164b a - ②4
4
n m - ③2
2244a y xy x -+-
④a ab ab +-22
⑤3
1
32
-
a ⑥22)(16)(49n m n m --+
⑦2
2
)()(d c b a d c b a -+--+++ ⑧33xy y x +-
⑨1)2(2)2(222++++x x x x ⑩29124x x -+-
(四)作业：分解因式 ①22
22
1m n +- ②26322x x +-
③22)2(9)2(4b a b a +-- ④222y x xy ---
⑤22)(4))((4)(d c d c b a b a ++++++ ⑥122
2-+-b ab a
(五)习题
1、已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足02
22=---++ac bc ab c b a ，那么△ABC 是 三
角形。

2、求方程31=+--y x xy 的整数解。

3、已知032=--y xy ，且y x ,均为正整数，求代数式y x 32-的值。

4、已知a ＋b ＝7，ab ＝2，求22b a +的值。

5、已知41=+
x x ，求①221x
x +，②2)1
(x x -的值。

6、请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行分解因式。

24a ，2)(y x +，1 ，9b 2
7、右图是四个形状，大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： 。

8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为
“神秘数”。

如：22024-=，222412-=， 2
24620-=，因此4,12,20
都是“神秘数”。

①28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
②设两个连续偶数分别为2k ＋2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
③两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
9、已知1=+y x ，求
222
1
21y xy x ++的值。

10、请观察下列等式：
239211==- 2331089221111==- 2333222111111=-……
根据前面各式的规律，请猜想111…1－22…2的值是多少？并说明你猜想的正确性。

11、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码。

有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆。

原理是：如对于多项式44y x -，分解因式的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取9=x ，9=y 时，则各个因式的值是：0)(=-y x ，)18(=+y x ，162)(22=+y x ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式234xy x -，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： 。

（写出一个即可）
12、已知，如图1，现在b b a a ⨯⨯,的正方形纸片和b a ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在图2的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重
叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为2
245b ab a ++，
13、若整式142++Q x ，是完全平方式，请你写出一个满足条件的单项式Q 是 。

a a a
b
b
b
14、计算：
⑪22999200320012002-⨯- ⑫)10
11()311)(211(222--- ⑬
n
n n n
n n 74148274142842421⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ ⑭
1)12()12)(12)(12(1642+++++
15、当b a y b a x -=+=,，求代数式222222)()(y x y x --+的值。

16、已知2
25
3=+y x ，求代数式)3()182(22ay ax ay ax -÷-的值。

17、已知，y x ,都是自然数，且满足方程54922=-y x ，求y x ,的值。

18、试说明两个连续奇数的平方差是8的倍数。

19、填空：
①2x +( ) =+2y xy （ ）2 ②-2100x ( )=+249y xy （ ）2 ③+-x 3692( )=（ ）2 ④（ ）=+-162a （ ）2 ⑤++32.001.0a （ ）=（ ）2 ⑥
-2
24
1y x ( )=+4z （ ）2 20、22912x xy k +-是一个完全平方式，那么k 应为（ ） A 、 2 B 、 4 C 、 2y 2 D 、 4y 4
21、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于（ ） A 、 －5 B 、 3 C 、 7 D 、 7或－1 22、分解因式，若22
)2
1
(41-=+
+a ma a ，则m 的值等于（ ） A 、 －2 B 、 2 C 、 1 D 、 －1 23、若1692
++kx x 是一个完全平方式，则k ＝ 。

24、如果2
2
8m ab a ++是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A 、 b 2 B 、 2b C 、 16b 2 D 、 ±4b
25、已知19991998,19981998,1997
1998+=+=+=x c x b x a ， 求ca bc ab c b a ---++2
2
2
的值。

26、已知013642
2
=+--+b a b a ，求a ＋b 的值。

27、若a ＋b ＝1， ab ＝2，则=++2
23b ab a 。

28、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，并且有ac c ab b 222
2+=+成立，则△ABC 是（
） A 、 等边三角形 B 、 等腰三角形 C 、 直角三角形 D 、 锐角三角形 29、已知02222
22=-+++bc ac c b a ，求a ＋b 的值。

30、若442++a a 的值为0，则51232
++a a 的值为（ ） A 、 －11 B 、 11 C 、 7 D 、 －7 31、计算：=+-----201918
3
2
222
222 。

32、观察下列各式：21112
⨯=+，32222⨯=+，43332
⨯=+，…请你猜想到的规律
用自然数n （n ≥1）表示出来： 。

33、请先观察下列算式，再填空：,181322⨯=-28352
2
⨯=-
①72－52＝8×（ ）； ②92－( )2=8×4； ③( )2－92＝8×5； ④132－( )2＝8×（ ）
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 。

34、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解。

你编写的三项式是 ，分解因式的结果是 35、多项式192
+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 。

（填上一个你认为正确的即可） 36、如图1，在边长为a 的正方形挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等
式是（
A 、 ))((22b a b a b a -+=-
B 、 2
222)(b ab a b a ++=+ C 、 2222)(b ab a b a +-=- D 、 2
22))(2(b ab a b a b a -+=-+ 37、请你观察图，依据图形面积间的关系，不需添加辅助线，便可得到一
个你非常熟悉的公式，这个公式是 。

38、若n mx x ++2
是一个完全平方式，则m ，n 的关系是 。

39、如图，边长为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为2
2
图1 图2 b
y
的值为 。

40、已知多项式2
4
44x x +加上一个单项式后，所得的三项式是一个完全平方式，则这个单项式是 。

41、若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，则代数式22)(b c a --的值（ ） A 、一定是正数 B 、 一定为负数 C 、 可能为正数，也可能为负数 D 、可能为0
42、先分解因式，再求值：2
2
12a b b -+-，其中a ＝－3，43+=
b 。

提高部分：
（二）其他方法：因式分解的四种常用方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。

1、因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相乘法④最后考虑分组分解法。

2、三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。

3、因式分解一定要彻底，分解到各个因式都不能再分解为止。

4、因式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式，如：（x +y ）（x +y ）（x －y ）应当写成（x +y ）2（x －y ）；如果有中括号应当去掉中括号……总之应当满足最简原则！
（1）十字相乘法：不能直接用完全完全平方公式分解的，形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式，可以考虑十字相乘法。

（不熟悉这法的同学可以不看）
例1、若x 2+y 2－4x －6y +13=0，求x +y 的值。

此题要用到拆项的思想
解：x 2+y 2－4x －6y +13 不熟悉这法的同学可以不看 =（x 2－4x + 4）+（y 2－6y + 9） 将13拆成两项4、9
=（x －2）2+（y －3）2 分别形成两个完全平方式 ∵（x －2）2+（y －3）2=0
∴⎩
⎨⎧=-=-0302y x
解得⎩
⎨⎧==32
y x
∴x +y =2+3=5
例2、分解因式：x 2+xy －12y 2
解：原式=（x －3y ）（x +4y ） 此题易错把结果写成（x －3）（x +4），所以建议你在每一例的顶部写上此列所代表的项中的字母
例3、分解因式：x 2－
61x －61 解：原式=（x －21）（x +3
1
）
此题的系数是分数，如果你不习惯分数形式的十字相乘，也可先提出此分数，解题过程如下：
解：原式=
61（6x 2－x －1）=6
1
（2x －1）（3x +1）
例4、分解因式：（x 2－4x ）2－2（x 2－4x ）－15
解：原式=[（x 2－4x ）+3 ] [（x 2－4x ）－5 ]
把（x 2－4x ）看成一个整体，整个式子看成一个二次三项式
=（x 2－4x +3）（x 2－4x －5）
因式分解一定要彻底，这两个式子可分别用十字相乘法分解
=（x －1）（x －3）（x +1）（x －5）
11
-34
x y 1
3
-
1
211
x 2 -4x 1 3 -5
（2）分组分解法：
分组分解法是综合性较强的一种方法，也是学生们不易掌握的一种方法。

它有以下几种情形：
ⅰ、分组后直接提公因式，再进一步提取公因式
例1 ：把a 2–ab+ac-bc 因式分解 解：原式＝（a 2–ab ）+(ac-bc) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c)
ⅱ、分组后直接运用公式法，此种方法又可分为三类 1、分组后直接运用公式法，再进一步提取公因式
例2.：把a 2-b 2+a-b 因式分解 解：原式＝（a+b ）(a-b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1)
2、分组后直接运用公式法，再进一步运用公式法
例3：把a 2-2ab+b 2-c 2因式分解 解：原式＝(a 2-2ab+b 2 ) -c 2
=（a-b ）2-c 2 =(a-b+c)(a-b-c)
3、分组后直接运用公式法，再进一步用十字相乘法 例4：把a 2-2ab+b 2 –a+b-2 因式分解 解：原式＝(a 2-2ab+b 2 )-(a-b)
=（a-b ）2-(a-b)-2
=[(a-b)+1][(a-b)-2] =(a-b+1)(a-b-2)
ⅲ、分组后直接运用十字相乘法，此种方法又可分为二类 1、分组后直接运用十字相乘法，再进一步提取公因式
例5：把a 2-2ab-3b 2+2a-6b 因式分解 解：原式＝(a+b)(a-3b)+2(a-3b) =(a-3b)[ (a+b)+2] =(a-3b)(a+b+2)
2、分组后直接运用十字相乘法，再进一步运用十字相乘法
例6： 把a 2-ab-2b 2+a+4b-2因式分解 解：原式＝(a+b)(a-2b)+2a-a+2b+2b-2 =(a+b)(a-2b)+2(a+b)-(a-2b)-2 =[(a+b)-1][ (a-2b)-2] =(a+b-1)(a-2b-2) 练习
1、填空题
⑪ ______)_______)(___(______22++=+++c a bc ab
⑫ ___))(________(2222y x x y y x +=+-+
⑬ 分解因式：_______________________2122=-+-b ab a ⑭ 若)3)(7(2--=++x x B Ax x ，则_____=A ，________=B ⑮ 若2=-b a ，4=-c a ，则________)(3222=-++-c b c bc b ⑯ 当012)1)((2222=-+-+y x y x 时，________22=+y x
⑰ 将1877222-++++y x y xy x 分解因式，得 2、选择题
⑪ 用分组分解法把1+++b a ab 分解因式，不正确的分组方法有（ ）个。

①)1()(+++b a ab ②)1()(+++a b ab ③)()1(b a ab +++ ④)1(+++b a ab A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 ⑫ 分解因式672
+-x x ，等于（ ）
A 、)2)(3(--x x
B 、)1)(6(++x x
C 、)2)(3(++x x
D 、)1)(6(--x x ⑬ 若)3)(5(-+x x 是二次三项式152
--kx x 的因式，那么k 的值是（ ） A 、8 B 、- 8 C 、2 D 、- 2
（4） 无论x 、y 为任何实数，多项式8242
2
+--+y x y x 的值总是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、0 D 、不能确定 3、分解因式
(1) (x 2－5x)(x 2－5x －2)－24
(2) x 3＋x 2y －xy 2－y 3；
(3) 2x 3-13x 2+25x-14。