正态总体均值
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7.2 参数假设检验
一、单个总体参数的检验
二、两个总体参数的检验
三、基于成对数据的检验(t 检验) 四、小结
一、单个正态总体均值与方差 的检验
2 1. 为已知, 关于的检验( U 检验 )
在上节中讨论过正态总 体 N ( , 2 )
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
拒绝域为W1 { t
x 0 s / n
* n
t1 / 2 (n 1)}
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题.
例2 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化? ( 0.05) 解 依题意 ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
* 0 . 05 , s , x 10.48, n 0.237
x 0 10.48 10.5 t * 0.327, sn / n 0.237/ 15
t分布表
查表得
t1 / 2 (n 1) t0.975 (14) 2.1448 t 0.327,
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解因为 ~ N (, 2 ), 要检验假设
2
设 1, 2 ,
, n 为来自总体 的样本,
即采用 T
S / n
* n
来作为检验统计量.
当H 0为真时,
0
S / n
* n
~ t (n 1),
定理三
由t分布分位数的定义知
0 P * t1 / 2 (n 1) Sn / n
故接受 H0 , 认为该机工作正常 .
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 ~ N (, ), 其中, 未知, 显著性水平为.
2 2
检验假设 H 0 : 0 , H 1 : 0 .
0 因为 未知, 不能利用 来确定拒绝域. / n *2 2 * 因为 S n 是 的无偏估计 , 故用 Sn 来取代 , 0
根据第六章知,
( n 1) S 2 0
*2 n
~ 2 ( n 1),
( n 1) S 取 作为统计量 . 2 0
2
*2 n
当H0为真时 ,由 分布分位数的定义知
2
*2 (n 1) Sn 2 P 1 / 2 (n 1) , 2 0 2
*2 (n 1) Sn 2 P / 2 (n 1) , 2 0 2
拒绝域为:
(n 1)Sn*2
02
>
2 1 / 2
(n 1)或
(n 1)Sn*2
02
/ 2 (n 1)
2
例3 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以 2 来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一 批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 *2 方差 sn =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化 ? ( 0.02)
故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
3. 为未知, 关于 2的检验( 2 检验)
设总体 ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
1, 2 , , n 为来自总体 的样本,
要检验假设:
其中 0 为已知常数. 设显著水平为 ,
2 , 分析 : S 是 的无偏估计 , 当H 0为真时 *2 n
0 我们引入统计量U ,则U服从N(0,1) 0
n
对于给定的 检验水平 0 1 由标准正态分布分位数定义知,
P { U > u1- a / 2 }= a
因此,检验的拒绝域为
W1 = {(x1, x2 ,L , xn ): z > u1- a / 2}
其中 z 为统计量U的观测值,这种利用U统计量 来检验的方法称为U检验法。
0.15,
H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48, 0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
x 0 于 是 | | 0.516 u0.05 1.645 / n
解 要检验假设 H 0 : 2 5000, H1 : 2 5000, 2 n 26, 0.02, 0 5000,
2 12 / 2 (n 1) 0.99 (25) 44.314,
2 2 ( n 1) /2 0.01 (25) 11.524,
拒绝域为:
因为
(n 1) s
0
*2 n
*2 n
2
11.524, 或
*2 (n 1)sn
0
2
44.314 .
( n 1) s
0
2
25 9200 46 44.314 , 5000
Байду номын сангаас
所以拒绝 H 0 ,
可认为这批电池的寿命的波动性较以往的 有显著的变化.
1.已知方差时两正态总体均值的检验 利用u检验法检验. 设 1, 2 , , n1 为来自正态总体 N (1,12 )的样本, 1 ,2 , ,n1 为来自正态总体 N ( 2 , 2 2 ) 的样本,
一、单个总体参数的检验
二、两个总体参数的检验
三、基于成对数据的检验(t 检验) 四、小结
一、单个正态总体均值与方差 的检验
2 1. 为已知, 关于的检验( U 检验 )
在上节中讨论过正态总 体 N ( , 2 )
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
拒绝域为W1 { t
x 0 s / n
* n
t1 / 2 (n 1)}
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题.
例2 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化? ( 0.05) 解 依题意 ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
* 0 . 05 , s , x 10.48, n 0.237
x 0 10.48 10.5 t * 0.327, sn / n 0.237/ 15
t分布表
查表得
t1 / 2 (n 1) t0.975 (14) 2.1448 t 0.327,
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解因为 ~ N (, 2 ), 要检验假设
2
设 1, 2 ,
, n 为来自总体 的样本,
即采用 T
S / n
* n
来作为检验统计量.
当H 0为真时,
0
S / n
* n
~ t (n 1),
定理三
由t分布分位数的定义知
0 P * t1 / 2 (n 1) Sn / n
故接受 H0 , 认为该机工作正常 .
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 ~ N (, ), 其中, 未知, 显著性水平为.
2 2
检验假设 H 0 : 0 , H 1 : 0 .
0 因为 未知, 不能利用 来确定拒绝域. / n *2 2 * 因为 S n 是 的无偏估计 , 故用 Sn 来取代 , 0
根据第六章知,
( n 1) S 2 0
*2 n
~ 2 ( n 1),
( n 1) S 取 作为统计量 . 2 0
2
*2 n
当H0为真时 ,由 分布分位数的定义知
2
*2 (n 1) Sn 2 P 1 / 2 (n 1) , 2 0 2
*2 (n 1) Sn 2 P / 2 (n 1) , 2 0 2
拒绝域为:
(n 1)Sn*2
02
>
2 1 / 2
(n 1)或
(n 1)Sn*2
02
/ 2 (n 1)
2
例3 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以 2 来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一 批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 *2 方差 sn =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化 ? ( 0.02)
故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
3. 为未知, 关于 2的检验( 2 检验)
设总体 ~ N (, 2 ), , 2均为未知,
1, 2 , , n 为来自总体 的样本,
要检验假设:
其中 0 为已知常数. 设显著水平为 ,
2 , 分析 : S 是 的无偏估计 , 当H 0为真时 *2 n
0 我们引入统计量U ,则U服从N(0,1) 0
n
对于给定的 检验水平 0 1 由标准正态分布分位数定义知,
P { U > u1- a / 2 }= a
因此,检验的拒绝域为
W1 = {(x1, x2 ,L , xn ): z > u1- a / 2}
其中 z 为统计量U的观测值,这种利用U统计量 来检验的方法称为U检验法。
0.15,
H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48, 0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
x 0 于 是 | | 0.516 u0.05 1.645 / n
解 要检验假设 H 0 : 2 5000, H1 : 2 5000, 2 n 26, 0.02, 0 5000,
2 12 / 2 (n 1) 0.99 (25) 44.314,
2 2 ( n 1) /2 0.01 (25) 11.524,
拒绝域为:
因为
(n 1) s
0
*2 n
*2 n
2
11.524, 或
*2 (n 1)sn
0
2
44.314 .
( n 1) s
0
2
25 9200 46 44.314 , 5000
Байду номын сангаас
所以拒绝 H 0 ,
可认为这批电池的寿命的波动性较以往的 有显著的变化.
1.已知方差时两正态总体均值的检验 利用u检验法检验. 设 1, 2 , , n1 为来自正态总体 N (1,12 )的样本, 1 ,2 , ,n1 为来自正态总体 N ( 2 , 2 2 ) 的样本,