回归分析与经验公式拟合解析

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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
变量间的函数关系
ຫໍສະໝຸດ Baidu1、是一一对应的确定关系
2、设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化， 并完全依赖于 x ，当变量 x 某个数值时， y 依确定的 关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f(x) ， 其中 x 称为自变量，称 y为因变量
一元线性回归模型概念
由实验获得两个变量 x 和 y 的一组样本数 (x1, y1)
据(x2 , y2 ) ， 归模型
(xn, y，n ) …， ，构造如下一元线性回 yi a bxi i
❖模型中， y 是 x 的线性函数部分加上误差项
❖线性部分反映了由于 x 的变化而引起 y 的变化
❖误差项 是随机变量
❖如以速度 v 作匀速运动的物体，走过的距离 s 与 时间 t 之间，有如下的函数关系
s vt
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
变量间的相关关系
1、变量间关系不能用函数关系精确表达 2、一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定
3、当变量x 取某个数值时，变量 y 的值可能有几个
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
教学重点和难点
❖ 回归分析的基本概念 ❖一元线性回归分析 ❖多元线性回归分析 ❖非线性回归分析
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
第一节 回归分析的基本概念
变量间的关系可分为函数关系和相关 关系。本节介绍这两种关系，并对回归 分析的一些基本概念作一个简要的介绍。

i
▪对于一个特定的 xi 值，它所对应的 yi值与其它 x j 值所对应 y j的不相关
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
回归方程概念要点
1、描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方 程称为回归方程
2、简单线性回归方程的形式如下 E( y) a bx
误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
第9章
回归分析与经验公式拟合
作者：刘兆平 部门：机电设备系
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
教学目标
回归分析是处理变量之间相关关系的一种 数理统计方法,也是广泛用于获得数学表达式 的较好方法。本章介绍测量中常用的一元与 多元线性回归以及一元非线性回归的基本方 法。
▪反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 的影y 响 ▪是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
❖ a 和 b 称为模型的参数
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
一元线性回归模型基本假定
1、误差项 是一个期望值为０的随机变量，
即 E( ) 0
一元线性回归模型概念
1、当只涉及一个自变量时称为一元回归，
若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称
为一元线性回归 2、对于具有线性关系的两个变量，可以 用一个线性方程来表示它们之间的关系
3、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误
差项 的方程称为回归模型。
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
▪方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ a是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x 0 时的期望
值
▪ b是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
经验的回归方程
1、总体回归参数 a 和 b 是未知的，必须利用样 本数据去估计他们 2、用样本统计量 aˆ 和 bˆ 代替回归方程中的未知 参数 a 和 b ，这时就得到了经验的回归方程
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
回归模型的类型
一个自 变量
回归模型
两个及两个 以上自变量
一元回归
多元回归
线性 非线性 线性 非线性 回归 回归 回归 回归
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
回归模型
1、回答“变量之间是什么样的关系？” 2、方程中运用
❖如人的身高( y)与体重( )之x 间的关系
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误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
什么是回归分析？
一种处理变量间相关关系的数理统计方法。
他主要解决以下几个问题
❖1、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 ❖2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量 的影响显著，哪些不显著 ❖3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预 测或控制可达到的精密度。
3、一元线性回归的经验的回归方程
yˆ aˆ bˆx
▪ aˆ是回归直线在 y 轴上的截距
▪ bˆ是直线的斜率，它表示对于给定的 x的值， yˆ 是 的y 估计值，也表示当 每x 变动一个单位时， 的y 平
均变动值
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aˆ 和 bˆ 的计算公式
。对于一个给定xi 的 值yi ， 的期望值
为 E( yi ) a bxi
2、对所有的 xi 值，i 的方差 2 都相同
3、误差项i 是一个服从正态分布的随机变量，且
相互独立。即i ~ N (0, 2 )
▪独立性意味着对于一个特定的
与其它 x j 值所对应 j的不相关
xi
值，它所对应的
根据最小二乘法 的要求，可得
式中
bˆ

n(xy n( x 2

x x

y) x)

lxy lxx
aˆ y bx
x


1 n
n i 1
xi , y

1 n
n i 1
yi , x2

1 n
1个数字的因变量 1个或多个数字的或分类的因变量
3、主要用于预测或估计
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第二节 一元线性回归分析
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一、一元线性回归方程
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