概率论 独立性

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概率论
２、n个事件的独立性
定义 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件 ,如果对于任意
的 k 1 k n ,和任意的 1 i1 i2 ik n 有等式
P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik
则称 A1, A2 , , An 为相互独立的事件 . 请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系
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概率论
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)
P AB P A B P B
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A)
或
P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约.
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概率论
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
或
PB | A PB, PA 0
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概率论
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
例如 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
对 n (n > 2)个事件
相互独立
?
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两两独立
性质：
概率论
(1)若事件A1, A2 , , An (n 2) 相互独立，
则其中的任意k (2 k n)个事件也相互独立
(2) 若事件A1, A2 , , An (n 2)相互独立， 则将 A1, A2 , , An (n 2) 中任意多个
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
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概率论
二、多个事件的独立性
１ 、三个事件的独立性 定义 设 A、B、C 为三事件 ,如果满足等式
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概率论
本章要点 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关
系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性
质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率
公式和贝叶斯公式。 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件
独立性进行概率计算。
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从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可 能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病 毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的 效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就 是这个道理。
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概率论
例2 下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件. 它们下
因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
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请问：如图的两个事件是独立的吗？
概率论
A B P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A
B即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即 若A、B互不相容,且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之,若A与B独立,且P(A)>0,P(B)>0,
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概率论
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
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概率论
四、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
解 以 Ai表 示 事 件 “ 第 i 个 人 带 有 感 冒 病 毒 ”
（i=1,2,…，1500），假定每个人是否带有感冒病毒 是相互独立的，则所求概率为
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概率论
1500
P Ai 1 P A1A2 A1500 i1 1 P A1 P A2 P A1 1 1 0.002 1500 1 e1500ln10.002 1 e15000.002 1 e3 0.95
概率论
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结
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概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
解 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 A=B1A+B2A+B3A 由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)
+ P(B--3-)P(A |B3)
依题意，
P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1
概率论
PAB PAPB PAC PAPC PBC PBPC
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件.
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概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C)
缺一不可
P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立. 事件A、B、C相互独立 事件A、B、C两两独立
为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
可求得
P B1 P H1 H2 H3 H1H2 H3 H1 H2H3 P B2 P H1H2 H3 H1H2H3 H1 H2H3
P B3 P H1H2H3
将数据代入计算得
P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
C
0.70
AB
DLeabharlann Baidu
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.95
0.75
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概率论
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工 作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
事件换成其对立事件，所得新的n个事件 仍相互独立
(3) 若 A1 , A2 , An 是相互独立的事件，则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An )
1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 ) P( An )
（相互独立事件至少发生其一的概率的计算） ---
P F G 1 P F P G 0.9735
代入得
P(W) 0.782
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概率论
例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
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概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
概率论
特别地，如果 P A1 P A2 P An p
则有
P
i
n
1
Ai
1
1
pn
注意:
当
n
时 , P i
n
1
Ai
1
1
pn
1
说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不 发生的，但是迟早要发生。
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概率论
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化
例1 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002, 求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。
则A、 B相容.
此例说明:互不相容与相互独立不能同时成立。
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概率论
问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互 独立又互不相容?
这两个事件就是 S和 s
P( S) =P( )P(S)=0
与 S独立且互不相容
不难发现， 与任何事件都独立.
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概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与B, A与B , A与B
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
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概率论
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
(1)若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响. (2)若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.