高等数学第七章第二节

y v 1 v C y ( v )2 1 v2 C
2
第七章
第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 故通解为
复习: 一阶线性方程 y P( x) y Q( x) 通解: y C e
P ( x) d x
e
P ( x) d x

P ( x) d x Q( x) e dx
齐次方程通解Y
非齐次方程特解
y
一、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
内容小结
一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常wenku.baidu.com变易法. 方法2 用通解公式
ye
P ( x )d x

P ( x )d x Q( x) e dx C
3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 dy 1 例如, 解方程 dx x y dx 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 x y dy d y du 1 法2. 作变换 u x y, 则 y u x, dx dx du 1 1 , 代入原方程得 dx u
两端再积分得 y x 3 3 x C2 利用 y
x0
y x3 3 x 1
三、y f ( y, y ) 型的微分方程
令 y p ( y ), 则 y 故方程化为 设其通解为 p ( y, C1 ), 即得
d p d p dy dx d y dx
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分 令 y p( x) ,
令 y p( y ) ,
思考与练习
方程 如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
P315 1(偶); 2(1); P328 1(2，5，8)；2(4，6)
第六节 高阶线性微分方程
?
定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 必需全为 0 ,
一、线性齐次方程解的结构
二、线性非齐次方程解的结构
第七章
n 阶线性微分方程的一般形式为
y ( n) a1 ( x) y ( n 1) an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
注1:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)是所给二阶方程的通解
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1 Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
x0
1
dp , 代入方程得 解: 令 y p ( y ), 则 y p dy
积分得 1 2
p
2
1 e2y C 1 2
利用初始条件, 得 C1 0, 根据 p y 0 y x 0 1 0, 得 dy y p e dx 积分得 e y x C2 , 再由 y x 0 0,得 C2 1 故所求特解为1 e y
令 y p ( y ),
dp yp p2 dy
d p dy p y
S 2 y (t ) d t
0
解得 p C1 y, 利用定解条件得 C1 1 , 再解 y y, 得
y C2 e x , 再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
内容小结
S 2 y (t ) d t
0
x
S2 y P S1 1 y Ox x
利用 两边对 x 求导, 得
2 x y 得 y (t ) d t 1 y 0 y y ( y ) 2
S2 y P S1 1 y
定解条件为
y (0) 1, y(0) 1
方程化为
Ox x
x
x
例5.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 .
( 1999 考研 )
解:
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
1 2 S1 y cot 2
d u u 1 dx u
可分离变量方程
思考与练习
判别下列方程类型: dy dy (1) x y x y dx dx dy (2) x y (ln y ln x) dx 提示: y 1 dx 可分离 dy 变量方程 y x dy y y ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 线性方程 y dx 2 x 2 2 dx 1 y 线性方程 x dy 2 y 2
y f ( x, y) 型的微分方程 二、
设 y p ( x) , 原方程化为一阶方程
设其通解为 p ( x, C1 ) 则得 y ( x, C1 )
再一次积分, 得原方程的通解
y ( x, C1 ) d x C2
例2. 求解 解:
(1 x 2 ) y 2x y
y Ce
P( x) d x
e
P( x) d x

P( x) d x Q( x) e dx
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 y u ( x ) ( x 1 ) ,则 用常数变易法求特解. 令
ln y P( x)d x ln C
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx P( x) d x , 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e
u e
P( x) d x
P( x) u e
在任何区间 I 上都 线性无关.
注2:
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使
y1 ( x) k2 y2 ( x) k1
线性无关
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
？
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理 2.
数) 是该方程的通解.
y
2
x0
1 , y
x0
3
代入方程得
(1 x ) p 2x p
分离变量
积分得 ln p ln (1 x 2 ) ln C1 ,
利用 y
x0
3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 (1 x 2 ) 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
3 2 u ( x 1) 2 C 3
d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 不妨设 x , y 0, 此时 2d x , x 故方程可变形为 这是以 x 为因变量
于是方程化为 x 2 dx x (齐次方程) 1 y dy y x dx dv 令 v , 则 x yv, v y y dy dy dv y 1 v 2 dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v 1 故有 2 C C C 2 代入 y v x, 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
CH2极限与连续
第七章 微 分 方 程
例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设 L : y f ( x) ( y 0) T y M 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 y 可得 OMA = OAM = A O P x 从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y 2 2 OM x y y 2 2 x x y 于是得微分方程 : y
分离变量后积分, 得原方程的通解
例3. 求解 解: 代入方程得 两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1 y,
d p d p dy dp 则 y p dx d y dx dy
故所求通解为
2y y e 0 例4. 解初值问题 y x 0 0 , y
z f ( x) d x C1
即
同理可得 y ( n 2)
d x C2

d x
C1 x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1.
解:
y e 2 x cos x d x C1


1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C2 x C3 8
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
即 对应齐次方程通解 P ( xy )d xC e 两端积分得 u Q( x) e dx C 故原方程的通解 y e 即
P( x) d x
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C
由一阶线性方程通解公式 , 得
y 为自变量的一阶 线性方程
dx 2 x 3 例2. 求方程 xy y y
xe
1 ( e y 1 d y ln C y

1 P( y ) 2y 1 Q( y ) y
所求通解为
ye
x
y
C (C 0)
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
例如, 方程 有特解 且
y2 tan x y1
推论.
常数, 故方程的通解为 是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
(3) ( y x 3 ) dx 2 x d y 0 (4) 2 y dx ( y x) d y 0
3
第七章
第五节 可降阶高阶微分方程
一、 二、 型的微分方程 型的微分方程
三、
型的微分方程
一、 y ( n ) f ( x) 型的微分方程
( n 1) , 令zy
因此