异方差

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怀特（ 4、怀特（White）检验 ）
怀特检验不需要排序， 怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）： 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）： Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + µ i 然后做如下辅助回归
2 ~ ei 2 = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + α 3 X 12i + α 4 X 2i + α 5 X 1i X 2i + ε i
7
8
二、实际经济问题中的异方差性
例5.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=β0+β1Xi+µi Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收 第 个家庭的储蓄额 第 个家庭的可支配收 入 高收入家庭： 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性， 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 µi的方差呈现单调递增型变化
2 2
Байду номын сангаас
2
ˆ ln µi = α + β ln X i + Vi 4.判别：若β显著，则数据中有异方差。 若不显著，可接受同方差。 缺点：Vi可能不满足OLS假设，其本身还可 能是异方差。
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2、格莱泽（Glejser)检验 、格莱泽（ 检验
实质同帕克检验， ˆ 实质同帕克检验，只是采用 µ i 对解 释变量做回归， 释变量做回归，而且采取的回归函数形式 不同。 不同。
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例5.1.3，以某一行业的企业为样本建立企业 以某一行业的企业为样本建立企业 生产函数模型 Yi=Aiβ1 Kiβ2 Liβ3eµi 被解释变量：产出量 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 解释变量：资本 、劳动 、技术 ， 那么： 每个企业所处的外部环境 外部环境对产出量的影响 那么 ： 每个企业所处的 外部环境 对产出量的影响 被包含在随机误差项中。 被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 造成了随机误差项的异方差性。 同，造成了随机误差项的异方差性。 这时， 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
2 2
6
异方差的类型
异方差一般可归结为三种类型： 异方差一般可归结为三种类型： 三种类型 (1)单调递增型： σi2随X的增大而增大 单调递增型： 单调递增型 的增大而增大 (2)单调递减型： σi2随X的增大而减小 单调递减型： 单调递减型 的增大而减小 (3)复 复 杂 型： σi2与X的变化呈复杂形式 的变化呈复杂形式
先将样本一分为二，对子样①和子样② 先将样本一分为二，对子样①和子样②分别 作回归， 作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造统计量进行异方差检验。 造统计量进行异方差检验。 由于该统计量服从F分布， 由于该统计量服从 分布，因此假如存在递增 分布 的异方差， 远大于1；反之就会等于1（ 的异方差，则F远大于 ；反之就会等于 （同方 远大于 ）、或小于 或小于1（递减方差）。 差）、或小于 （递减方差）。
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G-Q检验的步骤： 检验的步骤：
对样本观察值(X 按观察值X ①将n对样本观察值 i,Yi)按观察值 i的大小 对样本观察值 按观察值 排队 将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将 个观察值除去， ②将序列中间的 个观察值除去 剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两 个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2 个子样本，每个子样样本容量均为 对每个子样分别进行OLS回归 回归， ③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
2
第五章:异方差 第五章 异方差
3
本章主要内容 异方差的概念和产生原因 产生异方差的后果 异方差的侦察方法 异方差性的修正 案例
4
§5.1 异方差的概念
对于模型
Yi = β 0 + β 1 X ii + β 2 X 2i + L + β k X ki + µ i
如果出现
Var ( Var( µi ) = σ i2
在统计上是显著的，表明存在异方差性。 若 β 在统计上是显著的，表明存在异方差性
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步骤： 1.不考虑异方差的问题，做普通最小二乘回归。 2.求残差序列，并求其平方的对数形式。 3.利用原始模型中的一个解释变量做下面的回归： ln σ i = α + β ln X i + Vi
2
ˆ 用µi 代替未知的σ i
第二部分 经典单方程计量经济 学模型： 学模型：放宽基本假定的模型
1
基本假定违背： 基本假定违背：不满足基本假定的情况。 主要包括： 异方差性 （1）随机误差项序列存在异方差性； ）随机误差项序列存在异方差 序列相关性 （2）随机误差项序列存在序列相关性； ）随机误差项序列存在序列相关 （3）解释变量之间存在多重共线性； ）解释变量之间存在多重共线性 多重共线 4） （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 随机解释变量） （随机解释变量）； （5）模型设定有偏误。 ）模型设定有偏误。 计量经济检验： 计量经济检验：对模型基本假定的检验
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异方差的侦察方法
2、图解法： 图解法： 图解法
ˆ ˆ µi ~ Yi或X i
2
ˆ µi2
ˆ µi 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
ˆ Y i
ˆ Yi
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二、正式方法
1.帕克( 1.帕克(Park)检验 帕克 检验 选择关于变量X的不同的函数形式， 选择关于变量 的不同的函数形式，对方程 的不同的函数形式 进行估计并进行显著性检验， 进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种 函数形式，使得方程显著成立， 函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型 存在异方差性。 存在异方差性。 帕克检验常用的函数形式：
Ci=β0+β1Yi+µI
将居民按照收入等距离分成 组，取组平均数为样 居民按照收入等距离分成n组 居民按照收入等距离分成 本观测值。 本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布： 一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收 入组人数多，两端收入组人数少。 入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平 均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测 样本观测值的观测误差 值的不同而不同，往往引起异方差性。 值的不同而不同，往往引起异方差性。
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三、异方差的原因
4、异常值的出现。 、异常值的出现。 5、某个解释变量或多个解释变量的偏态分布。 、某个解释变量或多个解释变量的偏态分布。 6、不正确的数据变形或者函数形式的错误选 、 择。
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§5.2 出现异方差的后果
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异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性 仍然具有无偏性 不具有有效 仍然具有无偏性，但不具有有效 不具有 方差会变大。（ 。（即使在大样本的情况系也是 性，方差会变大。（即使在大样本的情况系也是 如此）。 如此）。
26 26
戈德菲尔德-匡特(Goldfeld Quandt)检验 (Goldfeld3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以 检验为基础，适用于样本容量较 检验以F检验为基础 检验以 检验为基础， 异方差递增或递减的情况。 大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想： 检验的思想：
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④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 在同方差性假定下，构造如下满足 分布的 统计量
n−c ˆ ∑ µ2 /( 2 − k −1) n −c n −c F= ~ F( − k − 1, − k − 1) n−c 2 2 2 ˆ µ1 /( − k − 1) ∑ 2
2
⑤给定显著性水平α，确定临界值Fα(v1,v2)， 给定显著性水平α 确定临界值 ， 若F> Fα(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设， ， 则拒绝同方差性假设， 表明存在异方差。 表明存在异方差。 存在异方差 当然， 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样 的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差 递增型异方差还是递减异型方差。 的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差
ˆ µi = β1 + β 2 X i + Vi 可以用 X i 或 1 来代替X i Xi
根据图形的分布情况选择解释变量的具体形式。
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格莱泽检验
异方差的格莱泽 格莱泽检验 格莱泽
e
e
0
(a )
X
j
0
(b )
X
j
e
0
(c )
X
j
25 25
帕克检验和格莱泽检验的困难
需要选择不同的解释变量， 需要选择不同的解释变量，尝试各种不 同的函数形式，进行多次反复试验； 同的函数形式，进行多次反复试验； 在进行试验的回归模型中， 在进行试验的回归模型中，其随即干扰 项本身就可能不满足OLS的经典假设 的经典假设。 项本身就可能不满足 的经典假设
所以，当模型出现异方差性时，参数 所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测 估计值的变异程度增大，从而造成对 的预测 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
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§5.3 异方差的侦察方法
检验思路： 检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释 由于异方差性就是相对于不同的解释 异方差性 变量观测值，随机误差项具有不同的方差。 变量观测值，随机误差项具有不同的方差。 那么： 那么 检验异方差性， 检验异方差性，也就是检验随机误差项 的方差与解释变量观测值之间的相关性及 其相关的“形式” 其相关的“形式”。
研究表明，异方差问题多存在于截面数据中。 异方差问题多存在于截面数据中。 异方差问题多存在于截面数据中
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异方差的图形表示
密 度 密 度 储 蓄 Y
储 蓄 Y
β1 + β 2 X i β1 + β 2 X i
(A) 收入X 收入X (B)
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以绝对收入假设为理论假设、 例5.1.2，以绝对收入假设为理论假设、以截面 以绝对收入假设为理论假设 数据为样本建立居民消费函数： 数据为样本建立居民消费函数：
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三、异方差的原因
1、截面数据中，随着自变量的增加，应变量 、截面数据中，随着自变量的增加， 的变异就越大。 的变异就越大。 2、模型中遗漏了某些重要的解释变量，从而 、模型中遗漏了某些重要的解释变量， 造成了异方差。 造成了异方差。 3、异常观测值的出现。 、异常观测值的出现。 波动、 如 波动、不确定性与经济规模的比例关 赚钱越多， 系 ——赚钱越多，消费的选择余地越大。 赚钱越多 消费的选择余地越大。
即对于不同的样本点 随机误差项的方差不再 对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 对于不同的样本点 是常数，而互不相同 则认为出现了异方差性 而互不相同，则认为出现了 是常数 而互不相同 则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
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一、异方差的类型
古典假定之一：随机扰动项µi的方差相同 var(µi ) = σ 2 = 常数 ≠ f ( X i ) i = 1,2,..., n 异方差：µi的方差随X i的变化而变化，即 var(µi ) = σ i = σ f ( X i )
ˆ σ2 = u i2 ∑ˆ d.f . = e i2 ∑ d .f .
也不是真实方差的无偏估计。 也不是真实方差的无偏估计
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2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了 统计量 变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
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3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果， 一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质； 良好的统计性质；
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几种异方差的检验方法： 几种异方差的检验方法： 非正式的方法（图示法） 一、非正式的方法（图示法）
1、用X-Y的散点图进行判断 、 的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大 缩小 复杂 散点扩大、缩小 散点扩大 缩小或复杂 型趋势（即不在一个固定的带型域中） 型趋势（即不在一个固定的带型域中）