直线与抛物线

化简得： 2)2 4( y 4) (x
延伸拓广
2、设P是曲线y 2 4( x 1)上一动点，则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是？
解：曲线y 2 4( x 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 的抛物线 2
所以抛物线的准线:x 0, 焦点:F (2,0)
(3)当 0 即b<-2时，直线与抛物线相离
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 y 2x 只有一个公共点的直线的方程. 解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0. x 0 x 0 由{ 2 得 { y 0 y 2x 故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是
BF BB x2 1,
2
于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2. 联立方程得x2－6x＋1=0，根据根与系数关系可以得 x1+x2=6 于是 |AB|=6+2=8 说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减 少了运算量，提高了解题效率.
延伸拓广
1.求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆 与抛物
由 0得 : m 36
练习：
解：设P(x,y)为抛物线 y x上任意一点， 则P到直线2x-y-4=0的距离 2 2 | 2x y 4 | | 2x x 4 | | (x 1) 3 | d 5 5 5 3 当且仅当 x=1 时， d min ， 5 此时 y=1， 所求点的坐标为P(1,1).
方程百度文库
图 形 范围
对称性
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y
x2 = 2py （p＞0）
x2 = -2py （p＞0） y
（p＞0）
y
l O F x
l
y
F x
l x l
F
O
O
O
F
x
x≥0
y∈R
x≤0 y∈R
关于x轴对称
x∈R y≥0
关于y轴对称
x∈R
y≤0
关于x轴对称
关于y轴对称
顶点
焦半径
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
y
x F
问题：已知直线 l：y＝kx＋1 和抛物 2 线 C：y ＝4x，试判断当 k 为何值时， l 与 C 有： ① 一个公共点；②两个不同公共点； ③没有公共点.
总结：
1.判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
1 AD BC 2( y0 ) 4
p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
1 AF BF 2( y0 ) 4
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
即y0 min
d | PF |
y
d
P
A
O

.
F
x
又 | PA | | PF || AF |
当A, P, F共线时，PA | | PF |) min | AF | (|
(| PA | d )min | AF | 5
延伸拓广 3、已知直线l：x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点，
中点M轨迹方程为: y 2 y x 2 0
作业：
1，求斜率为4且与抛物线 y2 8x 相交 的平行弦的中点轨迹方程. 2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线 Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
课外练习：1.已知抛物线C： y 2
2 px( p 0)
2
练习：
解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
O
.
M Q

F

x
B
k AB
又k AB
1 y
y 1 x2
1 y 1 即y 2 y x 2 0 y x2
当x1 x2 =2时， , y)为(2,0)满足y2 y x 2 0 (x
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线：y 4a
x1 , y1 Q . F

Px 2 , y2
O
x
中点弦问题
例1、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线 两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1）， 求直线l的方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法
A
O
B
F
X
例题讲解 分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距 离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。
解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的 坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为 y=x－1. ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x,得 （x－1）2=4x 化简得x2－6x＋1=0设 A(x1,y1),B(x2,y2)得：x1+x2=6 , x1x2=1
线，设垂足为M，求M的轨迹方程.
2 .若直线l与抛物线x2=4y相交与A、B两点，
延伸拓广
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
y
解：设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知：

.
P
F
O
x
P到F的距离等于到直线 5的距离 y
即 ( x 2) 2 ( y 3) 2 | y 5 |
2 2
1 综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1. 2
例3在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 )，
则y0 2 64x0
y0 2 将x0 代入得： 64 2 y0 3 y0 46 2 y0 48y0 16 46 d 16 , ( y0 R ) 5 80
线的准线相切.
l
y A
F M X
A1
M1
O
B1
B
延伸拓广
2．过抛物线 y 2 2 px 的焦点F的诸弦中， y 最短的弦长是 2p 。
l
A
F X
O
B
延伸拓广
3、过抛物线y ax 2 (a 0)的焦点F作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点，若线段PF , QF的长度分别是p, q，则 ? p q y 1 2 抛物线:x y a
说明：（1）联立方程组，结合判别式求解
（2）注意斜率不存在的情形
2、顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x－y－4＝0 所得弦长为 3 5 ，求抛物线方程.
说明： （1）联立方程组，结合韦达定理求解 （2）直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
焦点弦问题
例2. 斜率为1的直线经过抛物线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线 段AB的长. y
x y 1 4 3
2
2
8x
(
)
C
C.3条
D.无数多条
弦长问题
例1、已知直线l：y＝－x＋1和抛物线 C：y2＝4x，设直线与抛物线的交点为 A、B，求AB的长.
A
B
说明：直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
练习：
1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相切 的直线方程.
2
y kx 1 由方程组 { 2 消去 y 得 y 2x
y=kx+1,
k x 2(k 1)x 1 0
2 2
1 当 k=0时，x= ,y=1. 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 . 当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 此时直线方程为 y x 1.
2
1 Δ 4(k 1) 4k 0, k . 2 1
3 4
课堂练习4
1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．过原点的直线l与双曲线
B）
3.过点(0,2)与抛物线 y
直线有 A.1条 B.2条
3 3 ( , ) 2 2 交于两点，则l的斜率的取值范围是___________. 2 只有一个公共点的 2p
（2）当a=0时，即得到一个一次方程，则L与C 相交，且只有一个交点，
例1 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线 (1)相交,(2)相切,(3)相离?
解：由方程组{
x 2y
2
y 2x b 消去 y ，并整理得 2 x 2y
x 2 4x 2b 0
Δ 42 4 (2b) 8(2 b) (1)当 0 即b>-2时，直线与抛物线相交 (2)当 0 即b=-2时，直线与抛物线相切
. 将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式
| AB | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 1 k 2
36 4 2 8
例题讲解 分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用 抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和）， 从而达到求解目的.
解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知， p |AF|= AA , 而 | AA | x1 x1 1. 同理
2
在抛物线 y x 上求一点，使它到直线 2x-y-4=0的距离最小.
2
另解: 观察图象可知,平移直线至与 抛物线相切,则切点即为所求. 设切线方程为 2x-y+C=0， 2 得 联立 y x 2 x 2x C 0 ()
由 Δ (2)
2
4 (C) 0
得
C=-1
求证：OA⊥OB.
证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB
y
A
O
B
C(2p,0)
y2=2px
x
L:x=2p
延伸拓广 变式1: 两点，求证：OA⊥OB.
y 2 =2px(p>0)交于A、B 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线
y
设A x1, y1 、B x2 , y2
又由（ ）得
x=1，∴y=1.
故所求点的坐标是（1，1）. 点评：此处用到了数形结合的方法.
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的 最小值. 解法二： A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
2 MN AD BC , MN
4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y
O
.
F
x
当y0 24时, d min 2 此时P(9,24)
另解： 设直线4 x 3 y m 0与抛物线相切
y 2 64x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
中点弦问题
例2. 求抛物线 y 8x被点P(-1,1)平分的弦所 在直线方程.
2
已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、 y B，求AB中点的轨迹方程. A
y1 2 x1 y1 y2 2 由 2 相减得： ( x1 x2 ) y2 2 x2 x1 x2 y1 y2
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
判断直线 L与圆锥曲线C的位置关系时，可将直 线L的方程代入曲线C的方程，消去y得一个关于 变量X的一元方程ax2+bx+c=0
（1）当a ≠0时， 则有⊿>0， L与C相交 ⊿=0，L与C相切 ⊿<0，L与C相离
过点A（1 , -2）. （I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L ，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距 离等于 5 ？若存在，求直线L的方程；若不存在， 说明理由.5
且 OA OB . （O为坐标原点 ），过O点做AB的垂
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）