正多边形和圆 同步讲义 08(教师版)
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正多边形和圆
同步讲义08
一、圆的内接四边形
1.定义:四边形的各个顶点都在同一个圆上,则称该四边形是圆的内接四边形,圆是四边形的外接圆。 如图1,
D
图1
2.性质:圆的内接四边形,对角互补,一个外角等于它的内对角。
如图2,∠A+∠DCB=180°;∠B+∠ADC=180°∠DCE=∠A
D
图2
二、圆的外切四边形
1.定义:四边形的各边与圆都相切,则称四边形是圆的外切四边形,圆是四边形的内切圆。
如图3
O
H G F
E D C
B A
图3
2.性质:圆的外切四边形,对边的和相等。AB+CD=AD+BC
三、圆的外切(或内接)正多边形
1.正多边形的定义:
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形与圆的有关定理:把圆分成n(n≥3)等份,
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;
(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形;
(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆,这两个圆是同心圆
3.正多边形的其它性质
(1)正多边形都是轴对称图形,每条对称轴都通过正n边形的中心;偶数边的正多边形是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
(2)边数相同的正多边形相似。
4.正多边形的有关概念
正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心,也是内切圆的圆心,如图点O
正多边形的半径:外接圆的半径,如图4,OA
正多边形的边心距:内切圆的半径,如图4,OM
正多边形的中心角:正多边形每一边所对的外接圆的圆心角,如图∠AOB
图4
5.正n边形的有关计算
基本思路,是化为三角形解题。常用辅助线,是连半径,作边心距。正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。如图5
B A O r R
图5
(1)每个内角=
(2)每个外角=
(3)中心角=
(4)正n 边形的边长;
(5)内切圆的半径r=
(6)正n 边形的周长P=
(7)中n 边形的面积S=
(8)一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相似形,相似比是两个正多边形的半径之比。实际上,对外切圆
而言,相似比为r:R=,以圆的外切正六边形和内接正六边形为例。如图6,
(9)一个正n 边形的内切圆和外接圆的相似比为R:r=,以正六边形为例,如图6
B O
r
R
图6
四、例题:
1.圆内接正六边形的周长为24,则该圆的内接正三角形的周长为()
A.12 B.6 C.12D.6
2.若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等,试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比。
3.如图7,是两个相同的正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
图7
五、练习
1.正八边形的中心角是()
A.45°B.135°C.360°D.1080°
2.若正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的中心角的度数是()
A.30°B.60°C.90°D.120°
3.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为()
A.8cm B.4cm C.8cm D.4cm
4.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()
A.
6
2B.
3
4C.
6
3D.
4
3
5.如图8,圆的内接正五边形ABCDE的边长为a,圆的半径为r.下列等式成立的是()
A.a=2rsin36°B.a=2rcos36°C.a=rsin36°D.a=2rsin72°
图8
6.如图9,在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF,它的边长是24cm,的长度是()
图9
A.6πcm B.8πcm C.36πcm D.96πcm
7.若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于()
A.2 B.1 C.D.2
8.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是()
A.3B.9C.18D.36
9.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是()
A.1:2 B.1:C.:1 D.2:1
10.已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为()
A.2B.3C.4D.6
11.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是()A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
12.如图10,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠AOQ的度数为()
图10
A.60°B.65°C.72°D.75°
13.已知某个正多边形的内切圆的半径是,外接圆的半径是2,则此正多边形的边数是()A.八B.六C.四D.三
14.如图11,以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD,则∠BED的度数为()
图11
A.30°B.45°C.50°D.60°
15.一个正n边形的面积是240cm2,周长是60cm,则边心距是__________
16.若一个正多边形的一个外角为60°,则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________
17.如图12所示,△ABC为⊙O的内接三角形,AB=1,∠C=30°,则⊙O的内接六边形的面积为__________
图12
18.如图13,正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆,则AB:EF的值为__________.