任务二十七单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制

结构力学基本知识
超静定结构的内力计算
项目十
任务二十七 单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
教学内容 一、超静定结构的概念 二、力法的基本原理 三、力法的基本方程 四、超静定次数的确定与基本结构 五、 力法典型方程 六、力法的计算步骤和举例 七、对称性的利用
一、超静定结构的概念
静定结构 （statically determinate structure） 支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定，是没 有多余联系的几何不变体系。 超静定结构 （statically indeterminate structure ）
X 1=1）时，基本结构在X1作
11X1,于是上式可写
11 X 1 1P 0
X1 － 1P
11
式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变 形协调方程，即为力法基本方程。
三、 力法的基本方程
为了具体计算位移 δ11和△
1p，分别绘出基本结构的单
位弯矩图M1和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图 (a)、 (b) 所示 ：
M M 1 X1 M P
X1 M 以 M 倍，再与 P
图如图 (c)所示。 综上所述可知,力法是以多余力作为基本未知量，取去掉多 余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知 位移条件建立基本方程，将多余力首先求出，而以后的计算即与 应用上式绘制弯矩图时，可将 M 1 图的纵标乘
因此可解出多余力X1
X1
1P
11
ql 4 8 EI
l3 3EI
3ql 8
三、 力法的基本方程
多余力X1 求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超 静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的 M 1 和 M 图按叠加原理绘出， P 即
四、 超静定次数的确定与基本结构
从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种：
1. 去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，
如图 (a) (b) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
2. 撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如 图 (c) (d) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
3. 切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉
三个联系，如图 (e) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
4. 将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支 座，相当于去掉一个联系，如图 (f) 所示。
对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余联 系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基 本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后基本 结构必须是几何不变的。为了保证基本结构的几何不变性，结 构中的某些联系是不能去掉的。
用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同
作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相 等。 为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静 力平衡条件和变形协调条件
1 11 1P 0
三、 力法的基本方程
若以 11表示X1为单位力（即 成
用点沿X1方向产生的位移，则有 11=
四、 超静定次数的确定与基本结构
如图 (a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰 接，即相当于去掉一个联系得到图 (b)所示静定结构；当去掉 B支
座的水平链杆则得到图 (c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。
但是，若去掉 A支座的竖向链杆或 B支座的竖向链杆，即成瞬变体 系[图 (d)]所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。
支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定，是有
多余联系的几何不变体系。
一、超静定结构的概念
静定刚架
超静定刚架
有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性
二、力法的基本原理
1. 力法(force method)的基本结构
去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构 称为按力法计算的基本结构。
图的相应纵标叠加，即可绘出
静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。
四、 超静定次数的确定与基本结构
超静定次数(degree of static indeterminacy )：多余联系的 数目或多余力的数目 确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系， 直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原 结构的超静定Leabharlann Baidu数。
M
三、 力法的基本方程
用图乘法计算这些位移
11
1P
M1M1 1 l 2 2l l3 dx EI EI 2 3 3EI
M 1M P 1 1 ql 2 3l ql 4 dx l EI EI 3 2 4 8EI
二、
力法的基本原理
现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余
力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所 有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为
力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平
衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构 相同的原则来确定。
三、 力法的基本方程
四、 超静定次数的确定与基本结构
图 (a)所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结 构内部去掉多余联系得基本结构，如 (b)所示。
四、 超静定次数的确定与基本结构
对于具有多个框格的结构，按框格的数目来确定超静定的次数 是较方便的。一个封闭的无铰框格，其超静定次数等于3，故当一个 结构有n个封闭无铰框格时，其超静定次数等于3n。如图 (a)所示结 构的超静定次数等于3x8=24。当结构的某些结点为铰接时，则一个 单铰减少一个超静定次数。图 (b)所示结构的超静定次数等于 3x8-5=19。
模块三
结构力学基本知识
超静定结构的内力计算
项目十
任务二十七 单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
教学重点 超静定结构的概念、力法的基本原理、力法的基本方程、超静定 次数的确定与基本结构、力法典型方程、力法的计算步骤
教学难点 力法的基本方程、超静定次数的确定与基本结构、力法典型 方程、力法的计算
模块三