概率论第四章-切比雪夫不等式

定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P(6800< X <7200) =
用切比雪夫不等式
7200 K 10 C104 0.7K0.3 −K ∑
K=6800 =
2100 =0.95 P(6800< X <7200) = P( X −7000 < 200) ≥1− 2 200
练习 随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现的点数
之和在10至18之间的概率。 之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X −µ |≥ε}
≤
|x− |≥
∫ε µ
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
P | X − µ |≥ε}≤σ /ε {
2
2
P | X −µ |<ε}≥1−σ /ε {
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε =3 , 2 , σ σ
2 2
9 2 3 2 P{| X −µ |< 2 } ≥1−σ / ( 2 ) = = 0.75 σ σ 4
P{| X −µ |< 3 } ≥1−σ / ( 3 ) = 8 = 0.89 σ σ