第二章本征载流子浓度2

而在经典力学背景下，任何一个粒子的运动都 是严格符合力学规律的，有着可确定的运动轨 迹可以相互区分，因此所有经典粒子体系都是 定域粒子体系，在近独立假设下，定域粒子体 系都符合玻尔兹曼统计。
因而符合玻尔兹曼统计分布的粒子，当他们处 于某一分布（“某一分布”指这样一种状态： 即在能量为{Ej}的能级上同时有nj个粒子存在着) 时，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微 观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态， 而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态 出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的 分布状态被称为最可几分布。
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2.6.3 玻尔兹曼统计和费米-狄拉克统计
• 1)玻尔兹曼统计 • 是描述独立定域粒子体系分布状况的统计
规律。
• 所谓独立定域粒子体系是指：粒子间相互 没有任何作用，互不影响，并且各个不同 的粒子之间都是可以互相区别的。
• 在量子力学背景下只有定域分布粒子体系 中的粒子是可以相互区分的，因此这种体 系被称为独立定域粒子体系。
的平衡状态，热平衡载流子浓度也将随之发生变化，达到 另一稳定数值。 ❖热平衡状态时载流子浓度决定于：
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2.6.2本征载流子浓度与费米能级
• 概念： ❖本征半导体：当半导体中的杂质浓度远小
于由热激发产生的电子空穴浓度时，此半 导体称为本征半导体。 ❖本征激发：当半导体的温度T>0k时，本征 半导体就有电子 从价带激发到导带去，同 时价带中产生了空穴的过程。
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变
化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
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➢ 处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以处于热 平衡状态的电子系统有统一的费米能级；
➢ 费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含 量以及能量零点的选取有关；
费米能级EF 把半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，则费
米能级是系统的化学势，即：
EF



F N
T
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能；
N：电子总数，决定费米能级的条件是： f (Ei ) N
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2. 价带顶状态密度 对于价带顶情况，其附近E(k)与k的关系为：
E(k)

Ev

h2
(k
2 x

k
2 y
2m*p

k
2 z
)
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五、旋转椭球等能面情况下的状态密度
1. 导带底状态密度
对于实际的Si、Ge半导体，在其导带底附近，等能面是旋
转椭球面；导带底有s个(Si：6，Ge：4)状态；极值Ec不在k=0 处。则E(k)与k的关系为：
在热平衡时，电子按能量大小具有一定的统计分布规 律性。对半导体材料中的电子体系，可把体系看做一 个近独立体系，即认为电子之间的相互作用很弱，它 们除了交换能量达到平衡外，其他影响可不必考虑。 所以费米-狄拉克统计的物理含义是：热平衡时，每 个能量为E的单量子态被电子占据的几率。
根据量子力学，费米子为自旋为半整数的粒子， 其本征波函数反对称，在费米子的某一个能级上， 最多只能容纳一个粒子。又称费米-狄拉克分布， 简称费米分布函数，可表示为：
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三、k空间中量子态的分布
➢k空间就是以波矢k的三个互相正交的分量kx、ky、kz为坐标 轴的直角坐标系所描写的空间。
➢k空间中电子的波矢k只能取分立值，而不能取任意值，其允 许值为：
k x

nx L
k y

ny L
k z

nz L
(nx 0,1,2 ) (ny 0,1,2 ) (nz 0,1,2 )
✓ 热力学温度大于0K时，费米能级是量子态基本上被电子占 据或基本上是空的的一个标志。如上图所示；
✓ 随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的 概率下降，而占据能量大于费米能级的量子态的概率增大.
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✓ 在温度不很高时，能量大于费米能级的量子态基本上没有 被电子占据；能量小于费米能级的量子态基本上为电子所 占据；
1
1

exp
EF k0T
E

当EF -E >>k0T时，得到空穴的玻耳兹曼分布函数为：
1
f
(E)
e
E EF k0T

表明当E远低于EF时，空 穴占据能量为E的量子态 的概率很小，即该量子态 几乎都被电子所占据
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➢ E增大时，空穴占有几率增加；EF增大时，空穴占有 几率减小，即电子的填充水平增高；
电子的玻耳兹曼分布函数在上述能量范 围，量子态被电子占据的概率很小，正 是玻耳兹曼分布函数适用的范围。
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2、空穴的费米分布函数
f(E)表示能量为E的量子态被电子占据的概率，因而1- f(E) 就是能量为E的量子态不被电子占据的概率，这也就是量子态 被空穴占据的概率。即空穴的费米分布函数为：
1 f (E)
5
➢ 本征载流子浓度：在本征半导体中，导带中每单位体积的 电子数与价带中每单位体积的空穴数相同，电子与空穴浓 度相同。即n=p=ni，ni称为本征载流子浓度。
➢ 导带中的电子浓度可将N(E)F(E)由导带底端(为简单起见， 将EC起始视为0)积分到顶端Etop：
其中n的单位是cm－3，N(E)是单位体积下可允许的能态密度，F(E) 为电子占据此能量范围的几率即费米分布函数， n(E)是在能量 dE范围内的电子浓度。
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➢k空间中电子的允许量子态密度
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四、球形等能面情况下的状态密度
1. 导带底状态密度 为简单起见，先考虑能带极值在k=0、球形等能面的情况。
在k空间中，以|k|、|k+dk|为半径作两个球面，分别为能量 E(k)和(E+dE)的等能面。两个球壳间的体积是4πk2dk。则在能 量E ～ (E+dE)之间的量子态数为：
任一k值，沿一个坐标轴 方向均为1/L的整数倍，
在k空间均匀分布
其中，L是半导体晶体的线度，V=L3是晶体体积。
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➢每个允许的能量状态在k空间中与由整数组(nx，ny，nz)决定 的一个代表点 (kx，ky，kz)相对 应；
➢每一个代表点占据 ➢K空间的体积为1/V=L3， ➢K空间中代表点的密 ➢度为V。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
➢热平衡状态是在恒温下的稳定状态，且并无任何外 来干扰，如光照、压力或电场。在恒温下，连续的热 能使电子从价带激发到导带，同时又有电子从导带跃 迁到价带。 ➢即产生率=复合率。 ➢热平衡状态下的载流子浓度不变。
半导体中的导电电子浓度和 空穴浓度都保持一个稳定值
➢ 热平衡载流子：处于热平衡状态下的电子和空穴； ➢ 当温度改变时，破坏了原来的平衡状态，又重新建立起新
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➢ T>0K时：
✓ E < EF时，f(E)>1/2； E = EF时，f(E)=1/2； E > EF时，f(E)<1/2；
✓ 即：系统热力学温度大于0K时，能量小于EF的量子态被电 子占据的概率大于50%；能量等于EF的量子态被电子占据 的概率等于50%；能量大于EF的量子态被电子占据的概率 小于50%；
➢ 对于能量为E的能态被空穴占据的概率：
➢由于价带中较高能级的电子更容易激发出来， ➢因此较高能级上出现的空穴具有较低的空穴
能量，即空穴能级的高低关系与电子能级的 高低关系正好相反，可用负的电子能量来表 示空穴的能量。
图2.20 不同温度下费米分布函 数F(E)对（E-EF）图
➢ P35图2.21由左到右所描绘的是能带图、态密度N(E)、费 米分布函数及本征半导体的载流子浓度。
✓ 电子占据费米能级的概率在各种温度下总是1/2； ✓ 所以费米能级的位置比较直观地标志了电子占据量子态的
情况，通常就说 费米能级标志了电子填充能级的水平； ✓ 费米能级位置较高，说明有较多的能量较高的量子态上有
电子。
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费米能级是电子占有率为1/2时的能量。F(E)在费米能量EF附 近呈对称分布，当E-EF>>3k0T时，能量为E的能态被电子占据的 概率可简化为：
§2.6 本征载流子浓度
• 2.6.1热平衡状态 • 2.6.2本征载流子浓度与费米能级 • 2.6.3玻尔兹曼统计和费米-狄拉克统计 • 2.6.4状态密度 • 2.6.5费米分布函数与玻尔慈曼分布函数
1
2.6.1热平衡状态：
热平衡状态：在一定的温度下，电子从低能量的量子态 跃迁到高能量的量子态及电子从高能量的量子态跃迁到 低能量的量子态这两个相反过程之间建立起动态平衡， 称为热平衡状态。
E(k)

Ec

h2 2

k12
k2 mt
2

k32 ml

利用前述方法可得：
电子态 密度有24 效质量
2. 价带顶状态密度 在实际Si、Ge中，价带中起作用的能带是与极值相重合
的两个能带，与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l 和重空穴有效质量(mp)h，因此价带顶附近状态密度应为这两 个能带的状态密度之和，称为价带顶空穴的状态密度有效质 量(空穴态密度有效质量)。价带顶状态密度式子与球形等能面 情况下的价带状态密度式(5)有相同的形式，
空穴态密度有效质量
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26
2.6.5费米分布与玻尔慈曼分布函数
1、费米分布函数
费米分布函数描述的是热平衡状态下，电子在允许的量子 态上如何分布的一个统计分布函数。
服从泡利不相容原理
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当E- EF >>k0T时，量子态被电子占据的概率很小，费 米分布变为玻耳兹曼分布。
费米分布函数遵循泡利 不相容原理，而玻耳兹 曼分布函数不遵循。
➢ 服从玻耳兹曼分布的电子系统称为非简并系统，相应 的半导体称为非简并半导体；
➢ 服从费米分布的电子系统称为简并系统，相应的半导 体称为简并半导体。
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3、 费米分布函数的温度特性
➢ T=0K时： 由式
f (E)
1
1
exp
E EF k0T

可知：
✓ E < EF时，f(E)=1；E > EF时，f(E)=0；
dZ 2V 4k 2dk
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由式(2)可得：
k (2mn* )1/ 2 (E Ec )1/ 2 h
代入上式可得：
kdk

mn*dE h2
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上式表明，导带底附近单位 能量间隔内的量子态数目， 随着电子的能量增加按抛物 线关系增大。 即电子能量越高，状态密度 越大。如右图所示状态密度 与能量的关系。
2)费米-狄拉克统计： 是费米子依从的统计规律。它们符合泡利不相容原理。 费米子：自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子及其
. 反粒子 费米-狄拉克统计表示在温度T时，能级E的一量
子态上平均分布的电子数。 (玻色子：自旋为整数的粒子，不受泡利原理限制，如光子、 含有偶数个费米子的分子、原子等,遵从玻色-爱因斯坦统 计.)
其中k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度，EF是费米能级。 费米能级是电子占有率为1/2时的能量。
2.6.4 状态密度
一、概念
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二、状态密度的计算方法
➢ 首先算出单位k空间中的量子态数，即k空间中的状态密度； ➢ 然后算出k空间中与能量E~(E+dE)间所对应的k空间体积，
并和k空间中的状态密度相乘，从而求得在该能量间隔的 量子态数dZ； ➢ 最后，根据式(1)求得状态密度g(E).
✓ 即：热力学温度为0K时，能量小于EF的量子态被电子占据 的概率为100%，故这些量子态上都是有电子的；反之，则 被电子占据的概率为0，故这些量子态上都没有电子，是 空的；
✓ 热力学温度为0K时，费米能级可看成量子态是否被电子占 据的一个界限。如下图所示。
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E>0 E=0 f（E）=0
费 米 分 布 函 数 与 温 度 关 系 曲 线
图2.21 本征半导体
➢ 利用： n n Etop E dE Etop N E F E dE
EC
EC
可由图求得载流子浓度，即由图(b)中的N(E)与图(c)中的F(E)的乘
积可得到图(d)中的n(E)对E的曲线（上半部的曲线）。图(d)中阴影区域
➢ 只要知道了费米能级的数值，在一定温度下，电子在
各量子态上的统计分布就完全确定。 每个费米子都占据能量 最低的可供占据的量子态。最后 一个费米子占据着的量子态 可粗略认为费米能级。 在半导体物理和电子学领域中，费米能级常被当做电子 或空穴化学势的代名词。 对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米 能级。 费米能级的物理意义：该能级上的一个状态被电子占据 的几率是1/2。