线性代数之同解方程题型

线性代数之同解方程题

型

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

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例1 设A 为n 阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ). (A)若0Ax =有解时0T A Ax =也有解,则A 必可逆; (B)若0T A Ax =有解时0Ax =也有解, 则A 必可逆;

(C) 0T A Ax =的解必是0Ax =的解; (D) 0T A Ax =的解与0Ax =的解无任何关系.

解 0Ax =与0T A Ax =同解.

例2 设两个四元齐次线性方程组:12240,

()0x x x x +=⎧I ⎨-=⎩与1232340,()0

x x x x x x -+=⎧II ⎨-+=⎩问方程组()I 与()II 是否有非零的公共

解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.（两个方程型）

解 讨论方程组12241232340,

0,

0,0

x x x x x x x x x x +=⎧⎪

-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩是否有非零解.

11001

0101010

1011110001201110

00r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

--

⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

, 因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11,021x k k -⎛⎫ ⎪

⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭

为所有公共的

非零解.

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例3 设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为12240,

0.x x x x +=⎧⎨-=⎩又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为

12(0,1,1,0)(1,2,2,1)k k +-;（1个方程1个通解型）

（1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解系;

（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理

由.

解 (1)线性方程组（Ⅰ）的解为1424

33

44

x x x x x x x x =-⎧⎪

=⎪⎨=⎪⎪=⎩.取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得所求基础解系

()()120,0,1,0,1,1,0,1ξξ==-.

(2)将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）,得1212120

k k k k k k +=⎧⇒=-⎨+=⎩.当120k k =-≠时, 方程组（Ⅰ）

和（Ⅱ）有非零公共解,且为

222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)x k k k k =-+-=-=-

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其中k 为不为零的任意常数.

例4 已知齐次线性方程组（Ⅰ）的通解为()()120,0,1,01,1,0,1x l l =+-,又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)k k +-.求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解. （2个通解型）

解 令()()1212(0,1,1,0)(1,2,2,1)0,0,1,01,1,0,1k k l l +-=+-,解得12k k =-. 当120k k =-≠时, 方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解为 222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)x k k k k =-+-=-=- 其中k 为不为零的任意常数.

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【注意】求两个线性方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解的方法. (1)若已知两个方程组1Ax b =和2Bx b =,则求它们的公共解就是求1

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Ax b Bx b =⎧⎨=⎩的解;

(2)若已知一个方程组1Ax b =和另一个方程组2Bx b =的通解(方程组2Bx b =未知),则求它们的公共解的方

法是:将2Bx b =的通解代入到已知方程组1Ax b =中,解出2Bx b =的通解中任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入2Bx b =的通解中,从而得到方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解;

(3)若已知两个方程组1Ax b =和2Bx b =的通解(两个方程组未知),则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等,只要解出一个方程组(不妨设为1Ax b =)的通解中的任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入1Ax b =的通解中,从而得到方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解.

(4)对于两个齐次线性方程组,由于它们总有公共的零解,因此关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的

非零解.