矩阵分析课件第一章-线性空间和线性映射

第一章
线性空间和线性映射
第一节
线性空间
一： 线性空间的定义与例子 定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：
（1） 加法交换律
（2） 加法结合律

1 1 0 1 3 1
为其两组基，求从基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的 过渡矩阵，
并求向量
1 2 A 3 4
在这两组基下的坐标。
解：容易计算出下面的矩阵表达式
1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 1 3
A 第一组基下的坐标为 7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3 利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
a1n a2 n ann
称 n 阶方阵
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1, 2 ,
定理：过渡矩阵
, n 1,2 ,n P
( ) ( )
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对 于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 在一个元素 使得
都存
0
（ 5） 1
（ 6）
（ 7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l
x , x , , x
1
2
n
1,cos x,cos 2 x, ,cos nx
也是线性无关的。
线性空间的基底，维数与坐标变换 定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在 V 中存在 n 个线性无关的向量 1,2 , ,n 使得 V 中的任意一个向量 都可以由 1,2 , ,n 线性表出
例 3 设 1 ,2 , ,s 为 一组向量，那么非空子集合
n 维线性空间 V
中的
span 1 ,2 ,
1 1
, s ks s ki F
k
k22
构成线性空间 V 的一个子空间，称此子空间为有限 生成子空间，称 1 ,2 , ,s 为该子空间的生成元。 span 1,2 , ,s 的基底即为向量组
（ 8）
k ( ) k k
F
上的线性空间。
称这样的 V 为数域
例 1 全体实函数集合 线性空间。
R
R
构成实数域
R上的
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成 C m m mn 的集合 C 为 C 上的线性空间。
例 3 实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项 式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
i a1i1 a2i 2
1 , 2 ,
ani n
a1i a 2i , n , i 1, 2, ani
,n
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
1 , 2 ,
a11 a12 a a22 21 , n 1 , 2 , n a n1 a 2
f ( ) 0

称为
f
的
现在设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间， V 中取定一个基 1,2 , ,n ，设线性变换 f 在这组基下的矩阵是 A ，向量 在这组基下的 坐标是 X ， 0 F 。那么我们有
f ( ) 0 AX 0 X
由此可得定理：
0 是 f
在4维线性空间 R 22 中，向量组
0 1 1 1 3 0
与向量组
1 1 , 2 1 1 1 1 ,4 1 1 0 1 , 2 0 0 1 1 , 4 0 1
0 , 1 1 , 0 1 , 0 1 , 1
R 上的线性空间 R 中向量组 (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
3
与向量组
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 都是 R 3 的基。 R 3 是3维线性空间。 22 例 2 实数域 R 上的线性空间R 中的向量组 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
例 4 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的 的集合。即

ai F , R [a1 , a2 , a3 , ] i 1,2,3,

在 R 中定义加法与数乘：

[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k [a1 , a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]
问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？
子空间的交与和
7. 线性变换的特征值与特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间 V 的一个线 性变换，如果对于数域 F 中任一元素 0 ，V 中 都存在一个非零向量 ，使得 那么称 0 为 f 的一个特征值，而 属于特征值 0 的一个特征向量。
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。 基变换与坐标变换 设 1 ,2 , ,n （旧的）与 1 , 2 , , n （新的） 是 n 维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
都是
R
22
的基。R 22 是4维线性空间。
例 3
实数域
R 上的线性空间 R[ x]n 中的向量组
1, x, x , , x
2
n
与向量组
1, x 2,( x 2) , ,( x 2) 都是 R[ x]n 的基底。R[ x]n 的维数为 n 1.
的特征值
0 是 A
的特征向量
的特征值
是 f 的属于0 属于 0 的特征向量
X是 A 的
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它们 就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A 的 属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐 标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征向量。
则
R

为实数域

R上的一个线性空间。
例 6 在 R 中满足Cauchy条件的无限序列组成的 子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0, N 0, 使得对于 m, n N 都有
am an
二： 线性空间的基本概念及其性质 定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关 ；向量组的极大线性无关组；向量组的秩 基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不 唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
1,2 , ,s 的极大线性无关组， span1,2 , ,s 的维数即
为向量组


1,2 , ,s
的秩。 例 4 实数域 R上的线性空间 R nn 中全体上三角矩 阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合， 全体反对称矩阵集合分别都构成 R nn 的子空间，
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
是其两组基，求向量 坐标。
1 2 A 3 4
在这两组基下的
T A 解：设向量 在第一组基下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 )
0 以及线性空间 V
m n
本身。
例 2 设 A R ，那么线性方程组 AX 0 的 全部解为 n 维线性空间 R n 的一个子空间，我们称 其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组 AX 0 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基 础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个 数。
k11 k22 knn T , , , 则称 1 2 (k1, k2 , , kn ) n 为 V 的一个基底； 为向量 在基底 1 ,2 , ,n下的坐标。此时我们 称 V 为一个n 维线性空间，记为dim V n.
例 1 实数域
2 n
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间
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R
22
中，向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
例 1
实数域
e , e , , e
R 上的线性空间
1x 2 x
R
R
中，函数组
n x
是一组线性无关的函数，其中 1, 2 , , n 为一 组互不相同的实数。 例 2 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组 是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n 为一 组互不相同的实数。 例 3 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组
例 2
教材13页例1.2.6
第三节 线性空间的子空间 定义 设 V 为数域 F上的一个 n 维线性空间， W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的 , W 以及任意的 k , l F 都有
k l W 那么我们称 W 为 V 的一个子空间。
例 1 对于任意一个有限维线性空间 V ，它必有 两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间
P 是可逆的。
任取
V
，设 在两组基下的坐标分别为
T
x1, x2 ,
, xn
与
y1, y2 ,
, yn
T
，那么我们有：
x1 y1 x y 2 P 2 xn yn
称上式为坐标变换公式。
例 1
向量
2 3 y1 1 y 2 3 y3 1 3 y4 1 3
1 3 1 3 2 3 2 3
0 0 0 1
1 3 1 3 1 3 1 3
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4