函数的基本性质2

问题
你能以函数f(x)=－x 2为例， 说明函数f(x)的最大值的含义吗？
函数的最大值定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈ I ，都有f(x) ≦M；
(2)存在x ∈ I ，使得f (x ) ＝M；
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来自百度文库
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那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。
问题
2
3
2
已知函数f (x) x2 2x 2 , x [5,5] 求函数f (x)的最大值最小值
作业:P39 A组第5题,B组第1题
5
10
yx
8
6
4
2
-10
-5
-2
-4
-6
-8
5
10
通过比较发现，函数f (x) x2的图像上
有一个最低点（0，0），即对于任意的x∈R，
都有f (x) f (0)
当一个函数f(x)的图像有最低点时， 我们就说函数f(x)有最小值。
而函数f(x)＝x的图像没有最低点， 所以函数f(x)＝x没有最小值。
增函数 减函数
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差f(x1)－f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
若函数f(x)在区间D上具有（严格的）单调性， 那么对于任意的a，b∈D且a<b，一定有：
若函数f(x)单调递增，则f(a)< f(b)； 若函数f(x)单调递减，则f(a)> f(b)；
下面我们来观察下面两个图像，比较这两个函数 的图像中的点
y x2 14 12 10 8 6 4 2
-10
-5
你能仿照函数最大值的定义，给出 函数y=f(x)的最小值的定义吗？
例题3
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂.如果烟花距离地面的高度h (米)与时
间t (秒)之间的关系为 h(t) 4.9t2 14.7t 18 ，那
么烟花冲出后多少时候是它爆裂的最佳时刻？这时距离 地面的高度是多少？
3
(1) 判断并证明f (x)在区间( , )上的单调性；
(2) 求f (x)在区间[3 , 3]上的最大值和最小值
解（：1）令x y 0, f (0) 0 令x y,可得f (x) f (x) 设x1 ，x2 R，且x1 x2，则f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 ) x1 x2 ， x1 － x2 0 又 x 0时，f (x) 0.
f (x1 x2 ) 0. 即f (x1) f (x2 ) 0 由定义可知f (x)在区间（－，＋）上为单调递减函数.
(2) f (x)在R上是减函数， f (x)在区间[3,3]上也是减函数. f (3)最大，f (3)最小. f (3) f (2) f (1) f (1) f (1) f (1) 2 f (3) f (3) 2. 即f (x)在[3,3]上最大值为2，最小值为－2.
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是减函数 ．
求函数的最值，若能作出函数的图像，由最值 的几何意义不难求出。
运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法 特别是，函数图像作不出，单调性几乎成为首选。
例题4 已知函数 f (x) 2 (x [ 2 , 6] )
x 1 求函数的最大值和最小值。
例题5
已知函数f(x)对任意x、y∈ R ，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 且当x>0时，f(x)<0，f(1)=－ 2 。
1、函数f(x)的图像如下图，则最大、最小值分别为（ C ）
A f (2) 、 f ( 3)
y
3
2
B C
f (3) 、 f (0)
2
－2
f (0) 、 f ( 3)
3 2
－1
0
2
D f (0) 、 f (3)
3
23 x
函数y 1 在[2,3]上的最小值为（ B ） x 1
（A） 2 （B） 1 （C） 1 （D） －1