常见几何关系的代数化方法专题解析

常见几何关系的代数化方法专题

常见几何问题转化： 1、角度问题

（1）若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率：θtan =k

（2）若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定。 2、点与圆的位置关系

（1）利用圆的定义，转化为点到圆心距离等于半径。需要解出圆的方程，有些题目中计算量较大； （2）若给出圆的一条直径，可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：

若点在圆内，则ACB ∠为钝角，转化为向量：0<⋅；

若点在圆上，则ACB ∠为直角，转化为向量：0=⋅CB CA ；

若点在圆外，则ACB ∠为锐角，转化为向量：0>⋅。 3、三点共线问题

（1）通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线； （2）通过向量：任何两点确定向量，若向量共线，则三点共线。 4、直线的平行垂直关系

可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转化为坐标运算：()11y x ，=a ，()22y x ，=b ，则

a ，

b 共线01221=-⇔y x y x ；a ⊥b 02121=+⇔y y x x 。

5、平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系。

6、平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题，注意向量方向是同向还是反向。

7、三角形重心：设不共线三点()11y x A ，，()22y x B ，，()33y x C ，，则ABC ∆的重心

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++33321321y y y x x x G ，。

8、三角形垂心：转化为顶点与垂心的连线（垂线）与底边垂直，进而转化为向量的数量积为零。 9、三角形内心 （1）角分线定理：

AC

AB

CD BD =

； （2）AB IP ⊥，AC IQ ⊥；

（3）I 在BAC ∠的角分线上，则AQ AP =，等价于

AC

AC AI AB

AB AI =

。

特例：当角分线AI 平行于坐标轴时，0=+AC AB k k

10、四点共圆问题：

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

（2）圆内接四边形的对角互补，可以转化为数量积中的余弦，或正切（即斜率）和为0； （3）方程法：

①法一：任选三点确定一个圆，再证明第四个点满足所求圆的方程；

②法二：任选2个相邻的弦作中垂线，两个中垂线的交点即为圆心，再证明圆心到四点距离相等； （4）圆幂定理：ABCD 四个点，分别连接AB 和CD ，它们(或它们的延长线)交点为P ，若

PD PC PB PA ⋅=⋅，则ABCD 四点共圆。

[题型1 几何中基本性质之对称]

[例1] 设1F ，2F 分别是椭圆14

52

2=+y x 的左右焦点。 （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；

（2）是否存在过点()05，

A 的直线l 与椭圆交于不同的两点D C ，，使D F C F 22=？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

【解析】 （1）易知()011，-F ，()01，F ，设()00y x P ，，则1452020=+y x ，所以5

442

02

0x y -=，

所以()()35

11112

02

02

0000021+=-+=--⋅---=⋅x y x y x y x PF ，，

。 又因为550≤≤-x ，所以[]433512021，∈⎪⎭

⎫

⎝⎛+=⋅x PF PF 。 所以当00=x 时，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3； 当50±=x 时，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ⋅有最大值4。

（2）假设存在满足条件的直线l ，易知点()05，

A 在椭圆外部，当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所以直线l 斜率定存在，设直线l 的方程为：()5-=x k y ，()11y x C ，，()22y x D ，，CD 中点()33y x E ，。

联立直线l 与椭圆方程：()⎪⎩

⎪⎨⎧-==+514

52

2x k y y x ，消去y 得：()()0425550452

222=-+-+k x k x k 。 所以(

)0204802

>-=∆k

，解得512

<

k

，即5

1

51<<-k 。 45502221+=+k k x x ，()

4542552221+-=k k x x ，4

5402

21+-=+k k

y y ，

所以4525222213+=+=k k x x x ，4

52022

213+-=+=k k

y y y 。又因为D F C F 22=，所以CD E F ⊥2。 所以14

20201

45254520222222-=--=⋅-++-

=⋅k k k k k k k

k k CD

E F ，解得40-=不成立。 所以不存在直线l ，使得D F C F 22=。

[题型2 几何中基本性质之夹角]

[例2] 已知椭圆1C :122

22=+b y a x ()0>>b a 的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意

一点，且21PF PF ⋅的最大值的取值范围是

[

]

2

23c c ，。 （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围；

（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限内任意一点，当e 取得最小值时，试问：是否存在常数λ()0>λ，使得A BF BAF 11∠=∠λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。

【解析】 （1）设()y x P ，，则12222=+b y a x ，可得2222

2x a b b y -=。又因为()01，

c F -，()02，c F 。 所以()()222

222

2

2

21c b x a

c c y x y x c y x c PF PF -+=-+=--⋅---=⋅，，

。又因为a x a ≤≤-，所以()

2

max

2

1

b PF PF =⋅，所以2223

c b c ≤≤，即22223c c a c ≤-≤，所以2

1412≤≤e ，解得2221≤≤e 。 （2）由（1）知2

1

min =e ，可得c a 2=，c b 3=。所以双曲线方程为132222=-c y c x 。

设()00y x B ， 0000>>y x ，，()02，

c A ，()01，c F -。当x AB ⊥轴时，c x 20=，c y 30=。 所以133tan 1==

∠c c A BF ，即41π=∠A BF 。因为2

1

π

=∠BAF ，所以A BF BAF 112∠=∠，所以2=λ。 下面证明2=λ对于一般情况A BF BAF 112∠=∠也成立。

因为c x y k BAF AB 2tan 001--=

-=∠，c

x y k A BF BF +==∠00

11tan 。